[论文解读] Nonconvex piecewise linear functions: Advanced formulations and simple modeling tools

Joey Huchette, Juan Pablo Vielma|arXiv (Cornell University)|Jul 31, 2017

Formal Methods in Verification被引用 14

一句话总结

本文提出了一种新颖的混合整数规划（MIP）公式化方法，用于非凸分段线性函数，结合几何与组合方法，使单变量情形的计算速度最高提升3倍，双变量情形则实现数量级的性能提升。本文还引入了PiecewiseLinearOpt，一个基于Julia的建模工具，抽象了复杂的公式化过程，使用户无需接触底层MIP细节即可实现高层次、高效的建模。

ABSTRACT

We present novel mixed-integer programming (MIP) formulations for optimization over nonconvex piecewise linear functions. We exploit recent advances in the systematic construction of MIP formulations to derive new formulations for univariate functions using a geometric approach, and for bivariate functions using a combinatorial approach. All formulations are strong, small (so-called logarithmic formulations), and have other desirable computational properties. We present extensive experiments in which they exhibit substantial computational performance improvements over existing approaches. To accompany these advanced formulations, we present PiecewiseLinearOpt, an extension of the JuMP modeling language in Julia that implements our models (alongside other formulations from the literature) through a high-level interface, hiding the complexity of the formulations from the end-user.

研究动机与目标

• 解决现有MIP公式化方法在高维或复杂场景下对非凸分段线性函数计算效率低下的问题。
• 为单变量和双变量非凸分段线性函数开发更强、更小（对数规模）、计算性能更优的公式化方法。
• 通过设计高层建模接口，弥合先进MIP公式化方法与实际可用性之间的差距，隐藏公式化复杂性。
• 通过在基准问题和真实世界问题上的广泛计算实验，证明新公式化方法优于现有方法。
• 通过将先进MIP技术集成到用户友好的建模框架PiecewiseLinearOpt中，促进其在更广泛场景中的应用。

提出的方法

• 对单变量函数应用几何公式化构造技术，使用一般整数变量而非二进制变量，以改善分支策略表现。
• 将组合公式化技术扩展至网格三角剖分域上的双变量函数，生成新的对数规模公式化家族。
• 设计出强（松弛紧致）、小（段数的对数规模）且计算高效的公式化方法。
• 在PiecewiseLinearOpt中实现这些公式化方法，该工具是JuMP的Julia扩展，提供用于建模分段线性函数的高层API。
• 在随机优化问题中使用非线性函数（如逻辑函数）的分段线性逼近，以验证性能表现。
• 在合成与真实世界实例上，将公式化方法与最先进方法（如LogE、ZZB、ZZI）进行基准测试，评估指标包括求解时间、最优性间隙和成功率。

实验结果

研究问题

• RQ1 与现有基于二进制变量的对数规模公式化方法相比，使用一般整数变量的几何MIP公式化技术是否能提升单变量非凸分段线性函数的计算性能？
• RQ2 组合公式化构造方法能否扩展至网格三角剖分域上的双变量非凸分段线性函数，以实现对数规模且强的公式化？
• RQ3 在困难实例上，新公式化方法在求解时间和可扩展性方面相较于现有最先进方法的优越程度如何？
• RQ4 像PiecewiseLinearOpt这样的高层建模工具，是否能有效抽象复杂的MIP公式化，同时保持计算效率和可用性？
• RQ5 在涉及非线性的实际应用场景中，如使用逻辑逼近的随机选择份额问题，新公式化方法表现如何？

主要发现

• 所提出的单变量公式化方法在困难实例上相较现有方法最高实现3倍速度提升，主要得益于分支行为的改善。
• 对于双变量函数，新公式化方法相较先前方法在计算性能上实现了数量级的提升。
• 在选择份额问题基准测试中，ZZI公式化方法表现最优，30分钟内成功求解13个实例，而LogE未能求解任何实例。
• ZZI公式化方法的平均求解时间为776.2秒，显著低于LogE的3600秒（未收敛），也低于ZZB的3525.5秒。
• PiecewiseLinearOpt工具包使用户能够通过简洁、高层的接口建模复杂的分段线性函数，同时隐藏了底层MIP公式化的复杂性。
• 本研究证明，当先进MIP公式化方法与易用的建模工具结合时，可显著提升非凸分段线性优化的实际应用性与采纳率。