[论文解读] Noncrossing hypertrees

Jon McCammond|arXiv (Cornell University)|Jul 20, 2017

Advanced Combinatorial Mathematics被引用 4

一句话总结

本文将非交叉超树复形定义为非交叉超树的偏序集的对偶单纯复形的面格的几何实现，建立了其与非交叉划分链（一个分段球面复形）之间的同胚关系。关键贡献在于该复形上引入了度量与拓扑结构，揭示了由非交叉超树标记的单纯形与球面之间的对偶性，并表明某些阿帕特门（apartments）是单纯形单体（simplicial associahedra），从而统一了已知的非交叉划分与单体之间的双射关系。

ABSTRACT

Hypertrees and noncrossing trees are well-established objects in the combinatorics literature, but the hybrid notion of a noncrossing hypertree has received less attention. In this article I investigate the poset of noncrossing hypertrees as an induced subposet of the hypertree poset. Its dual is the face poset of a simplicial complex, one that can be identified with a generalized cluster complex of type $A$. The first main result is that this noncrossing hypertree complex is homeomorphic to a piecewise spherical complex associated with the noncrossing partition lattice and thus it has a natural metric. The fact that the order complex of the noncrossing partition lattice with its bounding elements removed is homeomorphic to a generalized cluster complex was not previously known or conjectured. The metric noncrossing hypertree complex is a union of unit spheres with a number of remarkable properties: 1) the metric subspheres and simplices in each dimension are both bijectively labeled by the set of noncrossing hypertrees with a fixed number of hyperedges, 2) the number of spheres containing the simplex labeled by the noncrossing tree $τ$ is the same as the number simplices in the sphere labeled by the noncrossing tree $τ$, and 3) among the maximal spherical subcomplexes one finds every normal fan of a metric realization of the simple associahedron associated to the cluster algebra of type $A$. In particular, the poset of noncrossing hypertrees and its metric simplicial complex provide a new perspective on familiar combinatorial objects and a common context in which to view the known bijections between noncrossing partitions and the vertices/facets of simple/simplicial associahedra.

研究动机与目标

• 将非交叉超树复形定义并研究为超树偏序集中非交叉超树的诱导子偏序集的面格的对偶。
• 通过与非交叉划分链的同胚关系，为该复形建立拓扑与几何结构。
• 揭示该复形中单纯形与度量球面之间的对偶性，二者均由非交叉超树标记。
• 证明该复形中的某些阿帕特门是等距同构于单纯形单体，从而将该复形与丛代数及类型A单体联系起来。
• 为理解非交叉划分、非交叉树与单体之间已知的双射关系，提供一种新的几何框架。

提出的方法

• 非交叉超树复形被构造为超树偏序集中非交叉超树的诱导子偏序集的面格的对偶。
• 通过与非交叉划分链的同胚关系确定该复形的拓扑结构——即非交叉划分格的正则单体复形中长对角边的链。
• 从非交叉划分链的度量诱导出该复形上的分段球面度量。
• 通过证明每个单纯形唯一地位于一个等距单位球面上，且标记为非交叉树 τ 的球面所包含的单纯形数量等于标记为 τ 的单纯形数量，从而建立单纯形与球面之间的对偶性。
• 通过将该复形与类型A的广义丛复形（m=2）进行比较，识别出其为丛复形的全子复形。
• 通过证明当一棵树房间仅包含一个划分房间（即对爪形树而言）时，其对应的阿帕特门为单纯形单体，从而确立与单体的联系。

实验结果

研究问题

• RQ1 非交叉超树的偏序集如何被实现为带有自然度量的几何单纯复形？
• RQ2 非交叉超树复形的拓扑结构是什么？它与非交叉划分格有何关系？
• RQ3 非交叉超树复形中是否存在单纯形与度量球面之间的对偶性？如果存在，其编码方式如何？
• RQ4 在何种条件下，非交叉超树复形中的阿帕特门会成为单纯形单体？
• RQ5 已知的非交叉划分与单体的顶点/面之间的双射关系，能否在此新几何框架下重新解释？

主要发现

• 非交叉超树复形同胚于非交叉划分链，后者是与非交叉划分格相关联的分段球面复形。
• 该复形继承了来自非交叉划分链的分段球面度量，从而获得自然的几何结构。
• 存在一个双射，将最高维单纯形的集合（树房间）与最高维球面子复形的集合（阿帕特门）对应起来，二者均由非交叉树标记。
• 对于每个非交叉树 τ，包含标记为 τ 的树房间的阿帕特门数量，等于标记为 τ 的阿帕特门中所包含的树房间数量。
• 当一个树房间仅包含一个划分房间（即对爪形树）时，其对应的阿帕特门为单纯形单体。
• 该复形包含了Hohlweg与Lange构造的所有类型A简单单体的正常扇形，且这些扇形对应于爪形树的阿帕特门。