[论文解读] Nondegeneracy of Random Field and Estimation of Diffusion

Masayuki Uchida, Nakahiro Yoshida|arXiv (Cornell University)|Dec 22, 2012

Statistical Methods and Inference被引用 3

一句话总结

本论文通过证明关于似然随机场的多项式型大偏差不等式，为在高频率下观测的扩散过程建立了准似然分析。关键贡献是通过张量丛截面论证，提出了一种关于随机指标 $\chi_0$ 的新颖非退化准则，从而在高频抽样下实现了估计量的渐近正态性与矩收敛性。

ABSTRACT

We construct a quasi likelihood analysis for diffusions under the high-frequency sampling over a finite time interval. For this, we prove a polynomial type large deviation inequality for the quasi likelihood random field. Then it becomes crucial to prove nondegeneracy of a key index chi_0. By nature of the sampling setting, chi_0 is random. This makes it difficult to apply a naive sufficient condition, and requires a new machinery. In order to establish a quasi likelihood analysis, we need quantitative estimate of the nondegeneracy of chi_0. The existence of a nondegenerate local section of a certain tensor bundle associated with the statistical random field solves this problem.

研究动机与目标

• 解决在高频率离散抽样下扩散过程准似然分析中的非退化性挑战。
• 克服由于抽样设计导致的随机非退化指标 $\chi_0$ 无法通过经典确定性条件处理的困难。
• 为统计随机场建立定量非退化准则，以实现矩收敛与高阶推断。
• 在高频渐近下，建立准最大似然与贝叶斯估计的框架，并实现矩收敛。
• 提供一种适用于随机过程中局部渐近混合正态（LAMN）实验的一般分析工具。

提出的方法

• 将随机回归模型表述为带有未知漂移和扩散系数的随机积分方程，其系数依赖于参数 $\theta$。
• 基于有限时间区间内的高频离散观测，定义准似然随机场 $\mathbb{Z}_n(u)$。
• 证明准似然场的多项式型大偏差不等式，以控制尾部概率并实现矩收敛。
• 通过统计场相关联的张量丛存在非退化局部截面，提出一种新颖的非退化条件。
• 利用马尔可夫微积分与正则性估计，统一控制参数空间上对数似然场的导数。
• 在随机设定下应用 Ibragimov-Has' 自小斯金-库托扬茨方案，利用 Yoshida（2005）的 LAQ 模型框架。

实验结果

研究问题

• RQ1 当随机指标 $\chi_0$ 因抽样设计而本质上为随机时，如何建立其非退化性？
• RQ2 何种条件可确保控制准似然场的张量丛的非退化局部截面存在？
• RQ3 能否为具有未观测漂移的高频率扩散模型推导出多项式型大偏差不等式？
• RQ4 在 LAMN 设置下，准最大似然估计量在何种条件下实现矩收敛？
• RQ5 该分析工具如何扩展以处理扩散过程状态空间中的奇点或不规则点？

主要发现

• 在高频率抽样下，为准似然随机场建立了多项式型大偏差不等式，从而支持高阶渐近分析。
• 通过张量丛的非退化局部截面存在性，证明了 $\chi_0$ 的非退化性，这是一种新颖的准则，避免了对连续支撑函数的依赖。
• 在新的非退化准则下，建立了准最大似然与贝叶斯估计量的矩收敛性。
• 理论结果被推广至扩散过程可能触及奇点但能迅速逃逸至正则区域的情形。
• 该框架支持通过矩收敛实现模型选择与信息准则，如 Uchida（2010）的相关工作所展示。
• 该方法适用于多维扩散过程与时间非齐次模型，包括随机波动率模型，在高频率观测下依然适用。