[论文解读] Nondeterministic Quantum Query and Quantum Communication Complexities
本文提出了一种非确定性量子查询与通信复杂性的新定义，其中当函数值为1时，量子算法以正概率接受；当函数值为0时，以零概率接受。该文证明了非确定性量子查询复杂性等于函数的非确定性多项式次数，并在查询与通信复杂性设置下展示了指数级的量子-经典复杂性差距。
We study nondeterministic quantum algorithms for Boolean functions f. Such algorithms have positive acceptance probability on input x iff f(x)=1. In the setting of query complexity, we show that the nondeterministic quantum complexity of a Boolean function is equal to its ``nondeterministic polynomial'' degree. We also prove a quantum-vs-classical gap of 1 vs n for nondeterministic query complexity for a total function. In the setting of communication complexity, we show that the nondeterministic quantum complexity of a two-party function is equal to the logarithm of the rank of a nondeterministic version of the communication matrix. This implies that the quantum communication complexities of the equality and disjointness functions are n+1 if we do not allow any error probability. We also exhibit a total function in which the nondeterministic quantum communication complexity is exponentially smaller than its classical counterpart.
研究动机与目标
- 形式化并分析基于输入1时正接受概率的非确定性量子算法新定义。
- 建立非确定性量子查询与通信复杂性的精确代数刻画。
- 在查询与通信模型中展示显著的量子-经典复杂性差距。
- 将所提出的定义与量子非确定性的其他定义进行比较，证明其在表达能力上的优越性。
提出的方法
- 将非确定性量子算法定义为：当 f(x) = 1 时以正概率接受，当 f(x) = 0 时以零概率接受。
- 证明布尔函数的非确定性量子查询复杂度等于其非确定性多项式次数。
- 利用量子验证协议模拟证书验证器模型，表明新定义严格更强大。
- 建立量子通信复杂性与非确定性通信矩阵秩的对数之间的联系。
- 分析相等函数与不相交函数，证明其在零误差条件下量子通信复杂度为 n+1。
- 构造一个显式总函数，其非确定性量子通信复杂度比经典复杂度指数级更小。
实验结果
研究问题
- RQ1非确定性量子查询复杂性的精确代数刻画是什么？
- RQ2所提出的量子非确定性定义与证书验证器模型相比，其表达能力如何？
- RQ3在新定义下，是否可在查询与通信复杂性中均实现指数级量子-经典复杂性差距？
- RQ4在零误差约束下，相等函数与不相交函数的量子通信复杂度是多少？
- RQ5是否存在一个总函数，其非确定性量子通信复杂度比经典复杂度指数级更小？
主要发现
- 布尔函数 f 的非确定性量子查询复杂度恰好等于其非确定性多项式次数。
- 存在一个总函数，其非确定性量子查询复杂度为1，而证书验证器模型需要 Ω(√n) 次查询，证明新定义严格更强大。
- 在要求零误差时，相等函数的非确定性量子通信复杂度为 n+1。
- 在零误差约束下，不相交函数的非确定性量子通信复杂度也为 n+1。
- 构造了一个显式总函数，其非确定性量子通信复杂度比经典对应版本指数级更小。
- 一个函数的量子通信复杂度等于其非确定性通信矩阵秩的对数。
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