[论文解读] Nonempty intersection of longest paths in $2K_2$-free graphs

Gili Golan, Songling Shan|arXiv (Cornell University)|Nov 18, 2016

Advanced Graph Theory Research参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文证明，在非空的 2K₂-自由图中，每个最大度顶点都位于所有最长路径上，从而表明所有最长路径至少共有一个顶点。证明利用了 2K₂-自由图的结构特性——如最长路径的支配性与边连通性约束——来表明：若一个最大度顶点不在某条最长路径上，则其邻点的度数将超过最大度 Δ(G)，从而导致矛盾，最终证明所有最长路径存在非空交集。

ABSTRACT

In 1966, Gallai asked whether all longest paths in a connected graph share a common vertex. Counterexamples indicate that this is not true in general. However, Gallai's question is positive for certain well-known classes of connected graphs, such as split graphs, interval graphs, circular arc graphs, outerplanar graphs, and series-parallel graphs. A graph is $2K_2$-free if it does not contain two independent edges as an induced subgraph. In this paper, we show that in nonempty $2K_2$-free graphs, every vertex of maximum degree is common to all longest paths. Our result implies that all longest paths in a nonempty $2K_2$-free graph have a nonempty intersection. In particular, it gives a new proof for the result on split graphs, as split graphs are $2K_2$-free.

研究动机与目标

• 为解决 Gallai 长期以来关于特定图类中所有最长路径公共交集的猜想。
• 证明在非空 2K₂-自由图中，所有最长路径至少共有一个公共顶点。
• 利用支配性与边连通性特性，对 2K₂-自由图中的最长路径提供结构表征。
• 为分裂图（2K₂-自由图的子类）中最长路径交集性质提供一种新的统一证明。
• 将已知满足 Gallai 猜想的图类扩展至此前研究的 cacti 图、区间图和系列-并行图之外的更广图类。

提出的方法

• 利用 2K₂-自由图的性质，证明其任意最长路径均为支配路径（即移除后不留下任何边），若非支配，则可利用 2K₂-自由性质构造更长路径。
• 通过结构引理表明：若某顶点不在最长路径上，则其不能同时与路径的两个端点相邻，也不能与路径上两个相邻顶点相邻。
• 基于引理 2.2 的邻接约束，从不在路径 P 上的最大度顶点 x 出发，定义一个独立集 S。
• 将路径 P 划分为 S 和 T = V(P) ∓ S，应用引理 2.3 证明存在一个顶点 y ∈ T，其邻域与 S 和 T 之间的所有边相交。
• 通过证明这样的 y 的度数将超过最大度 Δ(G)，从而导出矛盾，进而验证假设（即 x 不在 P 上）不成立。
• 利用抽屉原理表明：若 |V(P)| ≥ 2k+2，则 E(S,T) 中包含 k+1 条独立边，从而迫使 y 至少有 k+1 个邻居。

实验结果

研究问题

• RQ1 2K₂-自由图中所有最长路径是否至少共有一个公共顶点？
• RQ2 在非空 2K₂-自由图中，最大度顶点是否位于所有最长路径上？
• RQ3 能否通过更广的图类（如 2K₂-自由图）重新证明分裂图中最长路径的交集性质？
• RQ4 2K₂-自由图中的哪些结构约束强制最长路径具有支配性，并限制邻接配置？
• RQ5 若某顶点的度数超过 Δ(G)，是否源于最大度顶点不在某条最长路径上？

主要发现

• 在任意非空 2K₂-自由图中，每个最大度顶点都位于所有最长路径上，从而确保其交集非空。
• 在非空 2K₂-自由图中，所有最长路径至少共有一个公共顶点，证实了该类图满足 Gallai 猜想。
• 证明表明 2K₂-自由图中的最长路径具有支配性，即移除后不留下任何边。
• 最长路径上邻接集的结构受到限制：路径外的任意顶点不能同时与路径的两个端点相邻，也不能与路径上两个连续顶点相邻。
• 若最大度顶点 x 不在最长路径 P 上，则 T = V(P) ∓ S 中的 x 的邻点 y 的度数至少为 k+1，与 Δ(G) = k 矛盾。
• 该结果为分裂图中最长路径交集提供了新证明，因为分裂图是 2K₂-自由图的子类。