[论文解读] Nonequilibrium superfield and lattice Weyl transform transport approach to quantum Hall effect

F. A. Buot|arXiv (Cornell University)|Jan 20, 2020

Quantum and electron transport phenomena参考文献 15被引用 4

一句话总结

本文提出了一种非平衡超场与晶格外尔变换（SFLWT）量子输运框架，用于在整数量子霍尔效应中推导拓扑陈数。通过在有效 $(\vec{p},\vec{q};E,t)$ 相空间中采用一阶梯度展开，直接从输运方程中识别出拓扑不变量，从而在不依赖线性响应或平衡态Kubo形式体系的前提下，实现了霍尔电导的精确 $e^2/h$ 量化。

ABSTRACT

We derive the topological Chern number of the integer quantum Hall effect in electrical conductivity, using Buot's superfield and lattice Weyl transform nonequilibrium quantum transport formalism. The method is naturally straightforward, appropriate for treating nonequilibrium systems acted on by external electromagnetic fields. We have identified the topological invariant in the effective (~p; ~q; E; t)-phase space via the nonequilibrium quantum transport equation, generally not to first-order in electric field but to first-order in the gradient expansion. We have also derive the Kubo current-current correlation for the Hall current as a by-product of our new transport approach. The Berry curvature related to orbital magnetic moment is also calculated.

研究动机与目标

• 通过非平衡量子输运形式体系推导整数量子霍尔效应的拓扑陈数。
• 建立一种不依赖线性响应理论或平衡态Kubo形式体系的框架。
• 通过SFLWT-NEGF方法在 $(\vec{p},\vec{q};E,t)$-相空间中直接识别拓扑不变量。
• 利用实时超场动力学，证明霍尔电导为 $e^2/h$ 的整数倍。
• 作为输运形式体系的副产品，计算二维系统中的贝里曲率与轨道磁矩。

提出的方法

• 采用Buot的实时超场与晶格外尔变换（SFLWT）非平衡格林函数（NEGF）形式体系进行量子输运。
• 在量子输运方程中应用相空间中的一阶梯度展开，而非直接对电场一阶展开。
• 引入变量 $\mathcal{\vec{K}} = \vec{p} + e\vec{F}t$ 以描述均匀电场下时间演化的相空间坐标。
• 通过在 $\mathcal{\vec{K}}$-空间中对哈密顿量 $H^{(a)}$ 与小于格林函数 $G^{<\left(b\right)}$ 的积分，推导出拓扑不变量。
• 作为输运推导的副产品，重构了霍尔电导的Kubo电流-电流关联公式。
• 通过将矢势纳入 $\mathcal{\vec{K}}$，将该方法应用于具有能隙的能带结构与朗道能级体系。

实验结果

研究问题

• RQ1 整数量子霍尔效应中的拓扑陈数能否直接从非平衡量子输运形式体系中推导得出？
• RQ2 SFLWT-NEGF方法如何在不依赖平衡态线性响应的前提下，实现在相空间中识别拓扑不变量？
• RQ3 $\mathcal{\vec{K}}$-空间变量在捕捉电场下霍尔电导动力学中起什么作用？
• RQ4 该输运框架中，贝里曲率与轨道磁矩如何自然地被恢复？
• RQ5 该新输运方法的副产品能否推导出霍尔电导的Kubo公式？

主要发现

• 拓扑不变量被识别为 $\mathcal{\vec{K}}$-空间上的相空间积分，表达式为 $\frac{1}{(2\pi\hbar)}\int\int\int d\mathcal{\vec{K}}_x d\mathcal{\vec{K}}_y dt \left[ \frac{\partial^{(a)}}{\partial\mathcal{\vec{K}}_x} \frac{\partial^{(b)}}{\partial\mathcal{\vec{K}}_y} - \frac{\partial^{(a)}}{\partial\mathcal{\vec{K}}_y} \frac{\partial^{(b)}}{\partial\mathcal{\vec{K}}_x} \right] H^{(a)}(-iG^{<\left(b\right)})$，其结果即为陈数。
• 霍尔电导精确地以 $\frac{e^2}{h}$ 为单位量化，对应于mesoscopic系统中每自旋的接触电导。
• 该方法实现的量化并非对电场一阶展开，而是对梯度展开一阶，因此更具一般性且物理上更一致。
• 作为副产品，Kubo电流-电流关联公式被成功推导，证实了与现有形式体系的一致性。
• 贝里曲率与轨道磁矩可直接从 $\mathcal{\vec{K}}$-表象中的相空间波函数计算得出。
• 从 $\mathcal{\vec{K}}$ 到 $\vec{p}$-空间的变换雅可比行列式为1，确保了相空间积分中拓扑结构的保真性。