[论文解读] Nonexistence for complete Kähler Einstein metrics on some noncompact manifolds

Peng Gao, Shing‐Tung Yau+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2016

Geometry and complex manifolds参考文献 11被引用 3

一句话总结

本文证明了在紧致凯勒流形中去除一个余维数≥2的子簇，或去除一个映射到典范或终端奇点的例外除子时，完全凯勒–爱因斯坦度量均不存在。该结果可推广至klt对，并依赖于曲率与奇点分析，解决了关于非紧凯勒流形上典范度量存在性的一个长期悬而未决的问题。

ABSTRACT

Let $M$ be a compact Kähler manifold and $N$ be a subvariety with codimension greater than or equal to 2. We show that there are no complete Kähler--Einstein metrics on $M-N$. As an application, let $E$ be an exceptional divisor of $M$. Then $M-E$ cannot admit any complete Kähler--Einstein metric if blow-down of $E$ is a complex variety with only canonical or terminal singularities. A similar result is shown for pairs.

研究动机与目标

• 解决一个长期未决的问题：即在从紧致凯勒流形中去除一个余维数≥2的子簇后所得到的非紧凯勒流形上，完全凯勒–爱因斯坦度量是否可能存在。
• 研究在双有理态射中，目标流形具有典范或终端奇点时，例外除子的补集上完全凯勒–爱因斯坦度量的存在性问题。
• 将非存在性结果推广至具有卡瓦马塔对数终端（klt）奇点的对（X,D）的情形。
• 基于曲率与奇点类型，利用分析与代数几何方法，提供此类度量存在的几何障碍。
• 将结果应用于局部对称空间的紧化，表明为使完全凯勒–爱因斯坦度量存在，必须包含具有奇点的边界分量（尖点）。

提出的方法

• 利用博内–迈尔斯紧致性定理，排除非紧流形上具有正里奇曲率的凯勒–爱因斯坦度量的存在性。
• 应用曲率估计与具有庞加莱–莫克–姚（PMY）型行为的度量的渐近分析，证明非正里奇曲率下完全凯勒–爱因斯坦度量的非存在性。
• 采用奇点的解析化与对数解析化技术，将问题约化为分析余维数2奇点的问题。
• 利用分歧数的概念与klt（卡瓦马塔对数终端）奇点的定义，刻画局部奇点类型。
• 应用哈托格延拓定理与扎里斯基主定理，确保余维数≥2的奇点不影响 canonical bundle 的结构。
• 利用klt对在余维数2处具有商奇点的事实（通过引理4.3），将问题约化为一个局部模型，在该模型中证明了非存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在紧致凯勒流形中去除一个余维数≥2的子簇时，完全凯勒–爱因斯坦度量是否可能存在？
• RQ2 在将紧致凯勒流形沿一个余维数≥2的子簇进行爆破后，其例外除子的补集是否允许存在完全凯勒–爱因斯坦度量？
• RQ3 当目标流形的奇点满足何种条件时，双有理态射中例外除子的补集上可能存在完全凯勒–爱因斯坦度量？
• RQ4 对对（X,D）的klt（卡瓦马塔对数终端）条件是否阻碍了例外除子补集上完全凯勒–爱因斯坦度量的存在性？
• RQ5 该非存在性结果能否推广至局部对称空间的萨塔克紧化之解析化所得到的开流形情形？

主要发现

• 当 $M$ 为紧致凯勒流形，$N$ 为余维数≥2的子簇时，$M - N$ 上不存在完全凯勒–爱因斯坦度量。
• 若 $f: M \to X$ 是一个双有理态射，且 $X$ 仅有典范或终端奇点，且 $X$ 的奇点集具有余维数2，则 $M - E$ 上不存在完全凯勒–爱因斯坦度量。
• 对于一个复曲面 $M$，其例外除子 $E$ 映射到一个 A-D-E 奇点时，$M - E$ 上不存在完全凯勒–爱因斯坦度量。
• 非存在性结果可推广至klt对：若 $(X, D)$ 为klt对，则 $M - E$ 上不存在完全凯勒–爱因斯坦度量，其中 $E$ 为解析化中的例外除子。
• 该结果意味着萨塔克紧化中必须包含奇点边界分量（尖点），否则将导致在边界补集上存在完全凯勒–爱因斯坦度量，与非存在性定理矛盾。
• 曲率条件 $-\rho \text{Id} \to \text{Ric} \to 0$ 且 $\rho \neq 0$ 与 $M - N$ 上完全凯勒–爱因斯坦度量的存在性不相容，其中 $N$ 为余维数≥2的子簇。