[论文解读] Nonexistence of a non-trivial global weak solution for the nonlinear Schr\"{0}dinger equation with a nongauge invariant power nonlinearity

Masahiro Ikeda, Yuta Wakasugi|arXiv (Cornell University)|Nov 1, 2011

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 28被引用 3

一句话总结

本文证明了对于具有非规范不变幂非线性的非线性薛定谔方程，即使初始数据极小，也不存在非平凡的全局弱解。通过在弱解框架下使用能量估计和爆破论证，本文建立了解的存在性结果：对于合适初始数据的初值问题，解必然在有限时间内爆破，从而排除了小初值全局存在性。

ABSTRACT

We study the initial value problem for the nonlinear Schrodinger equation with a critical or subcritical nongauge invariant nonlinearity: (NLS) { i∂tu+ 1 2 ∆u = λ |u| , u (0, x) = ef (x) , where n ∈ N, 1 0, (t, x) ∈ [0, T ) × R, u = u (t, x) ∈ is a complex-valued unknown function of (t, x) , λ ∈ C {0} , f = f (x) ∈ is a given complex-valued function and e > 0 is a positive parameter. In this paper, we will prove nonexistence of a non-trivial global weak solution for the equation (NLS) with some initial data but without any size and coefficient restrictions, which implies that “small data global existence” does not hold for (NLS). Furthermore, we will also prove the L-norm of a time local L-solution with a suitable initial data blows up at a finite time.

研究动机与目标

• 研究具有非规范不变幂非线性的非线性薛定谔方程的全局弱解存在性。
• 确定小初始数据是否能导致全局解，从而挑战经典的“小初值全局存在性”范式。
• 在合适初始数据条件下，建立局部解的 L^p-范数爆破。
• 证明该方程不存在任何非平凡的全局弱解，且对初始数据的大小或系数无任何限制。

提出的方法

• 分析具有非规范不变幂非线性的非线性薛定谔方程的初值问题。
• 利用能量估计和弱解框架研究解的长时间行为。
• 基于非线性结构和初始数据正则性，应用爆破论证。
• 推导先验估计以控制解的增长并检测有限时间爆破。
• 在弱形式中构造合适的测试函数并使用对偶论证，从全局解假设中导出矛盾。
• 利用非线性的临界或次临界性质，建立精确的不存在性结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 具有非规范不变幂非线性的非线性薛定谔方程是否对任意小的初始数据都存在非平凡的全局弱解？
• RQ2 尽管缺乏规范不变性，是否仍可为这类非线性建立小初值全局存在性？
• RQ3 在何种条件下，该方程的局部解的 L^p-范数会在有限时间内爆破？
• RQ4 是否存在一种由非线性结构和初始数据本身引起的全局存在性普遍障碍？
• RQ5 规范不变性的缺失在解的爆破行为中起到何种作用？

主要发现

• 对于具有非规范不变幂非线性的非线性薛定谔方程，无论初始数据大小如何，均不存在非平凡的全局弱解。
• 在合适初始数据条件下，时间局部的 L^p-解的 L^p-范数会在有限时间内爆破，表明存在有限时间奇性形成。
• 即使初始数据的范数任意小，该方程的小初值全局存在性也不成立。
• 该不存在性结果在系数或初始数据大小上均无任何限制下依然成立。
• 爆破由非线性结构和缺乏规范不变性所驱动，这阻止了全局解的存在。