[论文解读] Nonexistence of a parent theory for general relativity and unimodular gravity

Gerardo García-Moreno, Alejandro Jiménez-Cano|arXiv (Cornell University)|Sep 13, 2023

Cosmology and Gravitation TheoriesPhysics and Astronomy参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文通过引入Stueckelberg场以在广义相对论（GR）和度量引力（UG）中恢复完整的微分同胚对称性和Weyl对称性，研究是否存在一个统一广义相对论（GR）与度量引力（UG）的母规范场论。尽管两者在动力学上等价，但UG中作为全局自由度存在的宇宙学常数阻碍了构造一个一致的母规范场论，证明在标准规范完成程序下，这种统一是不可能的。

ABSTRACT

General Relativity (GR) and Unimodular Gravity (UG) provide two equivalent descriptions of gravity that differ in the nature of the cosmological constant. While GR is based on the group of diffeomorphisms that permits the cosmological constant in the action, UG is based on the subgroup of volume-preserving diffeomorphisms together with Weyl transformations which forbid the presence of the cosmological constant. However, the cosmological constant reappears in UG as an integration constant so it arises as a global degree of freedom. Since gauge symmetries are simply redundancies in our description of physical systems, a natural question is whether there exists a "parent theory" with the full diffeomorphisms and Weyl transformations as gauge symmetries so that it reduces to GR and UG respectively by performing suitable (partial) gauge fixings. We will explore this question by introducing Stueckelberg fields both in GR and UG to complete the gauge symmetries in each theory to that of the would-be parent theory. Despite the dynamical equivalence of the two theories, we find that precisely the additional global degree of freedom provided by the cosmological constant in UG obstructs the construction of the parent theory.

研究动机与目标

• 确定是否存在一个单一的母规范场论，通过共享的规范对称性统一广义相对论（GR）和度量引力（UG）。
• 研究GR和UG是否可作为具有完整微分同胚对称性和Weyl不变性的共同理论的不同规范固定结果。
• 分析UG中宇宙学常数作为全局自由度的作用及其对规范完成的影响。
• 评估Stueckelberg场方法是否能将GR和UG的规范结构统一于一个共同框架中。
• 阐明UG中宇宙学常数的全局性质与母规范场论要求之间的根本不相容性。

提出的方法

• 在广义相对论中引入Stueckelberg场以恢复Weyl不变性，从而将其转化为具有扩展规范对称性的理论。
• 对度量引力应用相同的Stueckelberg程序，以恢复完整的微分同胚不变性，完成其规范结构。
• 比较GR和UG经Stueckelberg修正后的理论，以检验其是否可从一个共同的母理论推导而来。
• 分析线性化的WTDiff（Weyl + 横截微分同胚）与Fierz-Pauli（GR线性化）理论，识别其结构差异。
• 研究GR和UG在Stueckelberg场下的非线性版本，以评估在完整非线性层次上母理论的可行性。
• 利用UG的三重形式（度量、规范联络、对称规范联络）与GR对应形式进行比较，确认其非等价性。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个单一的母理论，可通过不同的规范固定还原为广义相对论和度量引力？
• RQ2 度量引力中的宇宙学常数作为全局积分常数，是否阻止了统一规范场论的存在？
• RQ3 GR和UG的Stueckelberg修正版本是否动力学等价，且能否在共同的对称结构下统一？
• RQ4 Weyl对称性和微分同胚不变性在构建GR与UG的母理论中起什么作用？
• RQ5 为何GR和UG的Stueckelberg完成版本导致非等价理论，尽管GR与UG本身在原始动力学上是等价的？

主要发现

• GR的Stueckelberg完成恢复了Weyl不变性，但并未产生与UG的Stueckelberg完成版本等价的理论。
• GR和UG的Stueckelberg完成版本是非等价的，表明无法通过规范固定从一个共同的母理论一致地还原为两者。
• UG中的宇宙学常数作为全局自由度出现，而GR中不存在这种形式，破坏了构建母理论所需的对称结构。
• UG中这一全局自由度的存在，阻止了构建一个将完整微分同胚对称性和Weyl对称性作为基本对称性的统一规范理论。
• 对WTDiff与Fierz-Pauli理论的线性化分析确认，由于WTDiff中存在额外的全局模态（对应于宇宙学常数），两理论在根本上存在差异。
• UG的三重形式（度量、规范联络、对称规范联络）表明，其任意变体均不等价于GR的对应形式，进一步强化了两理论之间的根本差异。