[论文解读] Nonexistence of a realistic model for the two dimensional Hilbert space

Andrei Khrennikov|arXiv (Cornell University)|Aug 14, 2003

Quantum Mechanics and Applications被引用 2

一句话总结

本文通过证明贝尔的概率框架在二维希尔伯特空间中无法一致地使用经典贝叶斯公式定义条件概率，从而挑战了贝尔的概率框架。作者在柯尔莫哥洛夫概率模型中证明了一个关于条件概率的新类比形式的维格纳不等式，表明即使在非复合系统中，经典与量子预测也存在分歧，这意味着在该设定下，不存在一致的经典概率模型能够重现量子行为。

ABSTRACT

We perform the analysis of probabilistic assumptions of Bell's approach. We emphasize that J. Bell wrote about probability without to specify the concrete axiomatics of probability theory. The careful analysis demonstrated that (surprisingly) J. Bell did not apply the classical probability model (Kolmogorov) to describe ``classical physical framework.'' In fact, he created his own probabilistic model and compared it with the quantum one. The crucial point is that J. Bell did not pay attention to {\it conditional probabilities.} We show that conditional probability in his model cannot be defined by classical Bayes' formula. We also use the approach based on Bell-type inequalities in the conventional probabilistic approach, Kolmogorov model. We prove an analog of Wigner's inequality for conditional probabilities and by using this inequality show that predictions of the conventional and quantum probability models disagree already in the case of noncomposite systems (even in the two dimensional case).

研究动机与目标

• 调查量子力学中贝尔概率模型的基础假设。
• 识别贝尔框架在使用经典贝叶斯公式时，无法一致处理条件概率的缺陷。
• 证明即使在非复合的二维系统中，经典与量子预测之间的差异依然存在。
• 基于柯尔莫哥洛夫概率模型，建立一个关于条件概率的新不等式。

提出的方法

• 在不明确引用柯尔莫哥洛夫公理概率理论的前提下，分析贝尔在概率假设方面的处理方式。
• 识别出贝尔实际上构建了其自身的概率模型，而非使用经典柯尔莫哥洛夫框架。
• 应用传统的柯尔莫哥洛夫概率模型，推导出条件概率的维格纳不等式的新类比形式。
• 利用该不等式，在二维希尔伯特空间中比较经典与量子概率模型的预测。
• 证明即使在不存在纠缠或复合系统的情况下，经典模型也无法重现量子预测。
• 聚焦于贝尔模型中条件概率定义的不一致性，特别是其无法应用贝叶斯公式的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 贝尔的概率模型能否使用经典贝叶斯公式一致地定义条件概率？
• RQ2 经典与量子预测之间的差异是否在非复合的二维量子系统中依然存在？
• RQ3 柯尔莫哥洛夫模型中是否存在一个形式不等式，能够捕捉经典条件概率与低维希尔伯特空间中量子预测之间的不相容性？
• RQ4 当正确考虑条件概率时，经典概率模型能否在二维希尔伯特空间中重现量子行为？
• RQ5 柯尔莫哥洛夫概率模型在揭示贝尔框架在条件概率方面局限性方面起到什么作用？

主要发现

• 尽管贝尔的模型隐含依赖于概率概念，但其并未使用经典柯尔莫哥洛夫概率框架。
• 贝尔模型中的条件概率无法使用经典贝叶斯公式一致地定义。
• 在柯尔莫哥洛夫模型中，专门推导出一个关于条件概率的维格纳不等式的新类比形式。
• 即使在二维非复合系统中，经典与量子概率模型的预测也存在分歧。
• 经典模型无法重现量子预测的问题出在条件概率结构上，而不仅仅是纠缠问题。
• 该分析揭示了在低维系统中，经典概率与量子力学之间存在根本性不相容，即使在无复合态的情况下也是如此。