[论文解读] Nonexistence of global solutions of nonlinear wave equations with weak time-dependent damping related to Glassey conjecture

N. Lai, Hiroyuki Takamura|arXiv (Cornell University)|Nov 21, 2017

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 9被引用 3

一句话总结

该论文在散射（$\beta > 1$）和尺度不变（$\beta = 1$）情形下，建立了具有弱时变阻尼的非线性波动方程全局解的不存在性，证明了其寿命上界与无阻尼情形相同——从而证实了Glassey猜想的关键部分。通过引入专门设计的乘子以吸收阻尼项，作者得到了与无阻尼情形一致的爆破结果和寿命估计，即使在弱阻尼条件下亦成立。

ABSTRACT

This work is devoted to the nonexistence of global-in-time energy solutions of nonlinear wave equation of derivative type with weak time-dependent damping in the scattering and scale invariant range. By introducing some multipliers to absorb the damping term, we succeed in establishing the same upper bound of the lifespan for the scattering damping as the non-damped case, which is a part of so-called Glassey conjecture on nonlinear wave equations. We also study an upper bound of the lifespan for the scale invariant damping with the same method.

研究动机与目标

• 研究具有弱时变阻尼的非线性波动方程全局解的不存在性。
• 将Glassey猜想——关于$ p \leq p_c(n) $时的爆破——推广至含阻尼的情形。
• 在散射（$\beta > 1$）和尺度不变（$\beta = 1$）阻尼情形下，建立能量解寿命的上界。
• 通过引入专门的乘子，克服阻尼项带来的挑战，使其效应得以吸收。

提出的方法

• 在散射情形（$\beta > 1$）引入乘子$ m(t) $，以吸收$ \frac{\mu}{(1+t)^\beta} u_t $形式的阻尼项。
• 在尺度不变情形（$\beta = 1$）使用不同的乘子$ m_1(t) = (1+t)^\mu $，其无界但能有效处理阻尼效应。
• 应用分部积分法与测试函数技巧，推导出涉及解及其时间导数的能量型不等式。
• 利用Hölder不等式及对非线性项$ |u_t|^p $的点态估计，导出关于函数$ H(t) $或$ H_1(t) $的微分不等式。
• 建立形如$ H'(t) \geq C (1+t)^{-\alpha} H^p(t) $的微分不等式，从而导致有限时间爆破。
• 通过比较论证与初始数据的正性，推导出寿命$ T $的显式上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 在弱时变阻尼条件下，关于$ p \leq p_c(n) $的Glassey爆破猜想是否成立？
• RQ2 当存在阻尼时，能否在寿命上界方面达到与无阻尼情形相同的上界？
• RQ3 乘子的选择如何影响$ \beta = 1 $或$ \beta > 1 $情形下阻尼波动方程的分析？
• RQ4 能否通过乘子技巧有效吸收阻尼项，从而恢复与无阻尼情形相似的爆破结果？

主要发现

• 对于$ \beta > 1 $（散射情形），当$ 1 < p < p_c(n) $时，寿命$ T $满足$ T \leq C \varepsilon^{-(p-1)/(1 - (n-1)(p-1)/2)} $，与无阻尼情形一致。
• 当$ p = p_c(n) $且$ n \geq 2 $时，寿命满足$ T \leq \exp(C \varepsilon^{-(p-1)}) $，同样与无阻尼结果一致。
• 在尺度不变情形（$ \beta = 1 $）下，寿命上界依赖于阻尼参数$ \mu $，其中$ H_1'(t) \geq C (1+t)^{-(n+2\mu-1)(p-1)/2} H_1^p(t) $，导致修正后的寿命估计。
• 使用乘子$ m_1(t) = (1+t)^\mu $即使其无界，也能导出爆破结果。
• 结果证实，弱时变阻尼不会阻止$ p \leq p_c(n) $时的爆破，支持了在阻尼情形下Glassey猜想的成立。
• 寿命的上界与无阻尼情形完全相同，表明弱阻尼不会延长全局解的存在时间。