[论文解读] Nonexistence of solutions for Dirichlet problems with supercritical growth in tubular domains

Riccardo Molle, Donato Passaseo|arXiv (Cornell University)|May 21, 2019

Advanced Mathematical Modeling in Engineering参考文献 25被引用 4

一句话总结

本文建立了在紧致子流形周围管状域中，对具有超临界非线性项的半线性椭圆Dirichlet问题，不存在非平凡解的非存在性结果。通过使用精心构造的向量场的Pohozaev型积分恒等式，证明了当 $ k=1 $、$ \Gamma_1 $ 可缩，并且 $ \varepsilon $ 足够小时，若非线性项超过临界Sobolev指数 $ p > \frac{2n}{n-2} $，则在管状域 $ T_\varepsilon(\Gamma_k) $ 中不存在非平凡解。

ABSTRACT

We deal with Dirichlet problems of the form $$ \\Delta u+f(u)=0 \\mbox{ in }\\Omega,\\qquad u=0\\ \\mbox{ on }\\partial \\Omega $$ where $\\Omega$ is a bounded domain of $\\mathbb{R}^n$, $n\\ge 3$, and $f$ has supercritical growth from the viewpoint of Sobolev embedding. In particular, we consider the case where $\\Omega$ is a tubular domain $T_\\varepsilon(\\Gamma_k)$ with thickness $\\varepsilon>0$ and centre $\\Gamma_k$, a $k$-dimensional, smooth, compact submanifold of $\\mathbb{R}^n$. Our main result concerns the case where $k=1$ and $\\Gamma_k$ is contractible in itself. In this case we prove that the problem does not have nontrivial solutions for $\\varepsilon>0$ small enough. When $k\\ge 2$ or $\\Gamma_k$ is noncontractible in itself we obtain weaker nonexistence results. Some examples show that all these results are sharp for what concerns the assumptions on $k$ and $f$.

研究动机与目标

• 研究在管状域中具有超临界增长的半线性椭圆方程的非平凡解的存在性或非存在性。
• 确定经典Pohozaev非存在性结果是否可从星形域推广至非星形、可缩的管状域。
• 分析中心子流形 $ \Gamma_k $ 的拓扑结构和维数如何影响具有超临界非线性项的Dirichlet问题的可解性。
• 通过识别增长指数 $ p $ 和域厚度 $ \varepsilon $ 的临界阈值，建立精确的非存在性结果。

提出的方法

• 利用与管状域 $ T_\varepsilon(\Gamma_k) $ 的几何结构相适应的向量场 $ v_k $，推导出Pohozaev型积分恒等式，其中 $ \Gamma_k $ 是一个 $ k $-维紧致子流形。
• 构造向量场 $ v_k $，使其在 $ \Gamma_k $ 上的散度和方向导数受控，并具有当 $ \varepsilon \to 0 $ 时的渐近行为。
• 将积分恒等式应用于方程 $ \Delta u + f(u) = 0 $，其中 $ f(u) = |u|^{p-2}u $，从而导出涉及 $ \int |Du|^2 dx $ 的不等式。
• 利用 $ \mathop{\rm div}\nolimits v_k $ 渐近收敛于 $ n-k $ 以及 $ dv_k[\eta]\cdot\eta \to 1 $ 当 $ \varepsilon \to 0 $ 的性质，推导出一个强制不等式。
• 分析系数 $ 1 - \frac{n-k}{2} + \frac{n-k}{p} + \mu_k(\varepsilon) $ 的符号，表明当 $ p > \frac{2(n-k)}{n-k-2} $ 且 $ n > k+2 $ 时，该系数变为负，从而强制 $ u \equiv 0 $。
• 利用容量和同调群论证解释结果的精确性，尤其针对 $ k \geq 2 $ 和非可缩 $ \Gamma_k $ 的情形。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将超临界非线性项的Pohozaev非存在性结果推广至非星形、可缩的管状域？
• RQ2 中心子流形 $ \Gamma_k $ 的拓扑结构（如可缩性）和维数 $ k $ 在Dirichlet问题可解性中起什么作用？
• RQ3 非存在性结果在增长指数 $ p $ 和管状域厚度 $ \varepsilon $ 方面是否精确？
• RQ4 为何当 $ k=1 $ 且 $ \Gamma_1 $ 非可缩，或 $ k>1 $ 即使 $ \Gamma_k $ 可缩时，非存在性结果在相同超临界指数下会失效？
• RQ5 在 $ \mathbb{R}^2 $ 中，对 $ q $-Laplacian 方程是否可获得类似的非存在性结果，其中即使 $ n=2 $ 也会出现超临界行为？

主要发现

• 当 $ k=1 $、$ \Gamma_1 $ 为 $ \mathbb{R}^n $ 中的紧致、光滑、可缩曲线，且 $ n \geq 3 $，$ p > \frac{2n}{n-2} $ 时，存在 $ \bar{\varepsilon} > 0 $，使得对所有 $ \varepsilon \in (0, \bar{\varepsilon}) $，Dirichlet问题仅有平凡解。
• 当 $ k \geq 2 $ 或 $ \Gamma_k $ 非可缩时，该方法在 $ p > \frac{2n}{n-2} $ 时不适用，但对 $ n \geq 4 $ 和 $ p > \frac{2(n-1)}{n-3} $ 可获得较弱的非存在性结果。
• 当 $ k \geq 2 $ 时，若 $ n > k+2 $ 且 $ p > \frac{2(n-k)}{n-k-2} $，则存在非存在性结果，且该阈值是精确的，由存在性例子得以证实。
• 对于 $ k=1 $、$ \Gamma_1 $ 可缩的情形，非存在性结果是精确的：当 $ k=1 $、$ \Gamma_1 $ 非可缩（例如圆周）时存在反例，此时对 $ p \in (1, \frac{2(n-1)}{n-3}) $ 当 $ n \geq 4 $ 时存在解。
• 当 $ k \geq 2 $ 时，对 $ p \geq \frac{2n}{n-2} $ 展示了解的存在性和多重性，表明对 $ k>1 $ 的非存在性结果无法在相同 $ p $-阈值下进一步推广。
• 在 $ \mathbb{R}^2 $ 中，若将Laplacian替换为 $ q $-Laplacian（$ 1<q<2 $），则对所有可缩区域，当 $ p \geq \frac{2q}{2-q} $ 时可得非存在性结果，表明其推广范围广于 $ n \geq 3 $ 时的 $ p $-Laplacian 情形。