[论文解读] Nonexpansive iterations in uniformly convex $W$-hyperbolic spaces

Laurenţiu Leuştean|ArXiv.org|Oct 22, 2008

Optimization and Variational Analysis参考文献 18被引用 52

一句话总结

本文引入了具有单调一致凸模的均匀凸 $W$-双曲空间（即 $UCW$-双曲空间），这是均匀凸巴拿赫空间和 $CAT(0)$-空间的推广，并利用证明挖掘技术建立了该设定下非扩张映射的 Ishikawa 迭代的渐近正则性的有效速率。关键贡献在于首次获得了 Ishikawa 迭代的、有效的、统一的收敛速率，即使在赋范情形下也仅依赖于一致凸模、集合的直径以及迭代序列的参数。

ABSTRACT

We propose the class of uniformly convex $W$-hyperbolic spaces with monotone modulus of uniform convexity ($UCW$-hyperbolic spaces for short) as an appropriate setting for the study of nonexpansive iterations. $UCW$-hyperbolic spaces are a natural generalization both of uniformly convex normed spaces and CAT(0)-spaces. Furthermore, we apply proof mining techniques to get effective rates of asymptotic regularity for Ishikawa iterations of nonexpansive self-mappings of closed convex subsets in $UCW$-hyperbolic spaces. These effective results are new even for uniformly convex Banach spaces.

研究动机与目标

• 提出 $UCW$-双曲空间作为研究非扩张迭代的统一框架，推广均匀凸巴拿赫空间和 $CAT(0)$-空间。
• 在完备的 $UCW$-双曲空间中，建立非扩张映射的唯一渐近中心和不动点的存在性。
• 应用证明挖掘技术，提取 $UCW$-双曲空间中 Ishikawa 迭代的有效的、统一的渐近正则性速率。
• 提供仅依赖于一致凸模、集合直径和迭代参数的定量收敛速率，与映射或初始点无关。

提出的方法

• 将 $UCW$-双曲空间定义为具有单调一致凸模的完备 $W$-双曲空间，确保强几何性质，如切比雪夫集和有界闭凸集递减序列的非空交集。
• 使用渐近中心技术，通过迭代序列的有界性来刻画不动点存在的条件。
• 应用证明挖掘技术，将非构造性存在性证明转化为 Ishikawa 迭代序列 $d(x_n, Tx_n) \to 0$ 的有效、可计算的收敛速率。
• 结合先前关于 Krasnoselski-Mann 和 Halpern 迭代的研究方法，推导出渐近正则性的定量速率。
• 推导出显式界 $\Phi(\varepsilon, \eta, d_C, \theta, L, N_0, \gamma)$，保证对所有 $n \geq \Phi$ 有 $d(x_n, Tx_n) < \varepsilon$，其依赖于误差 $\varepsilon$、模 $\eta$、直径 $d_C$ 以及迭代参数。
• 在 $\lambda_n = \lambda \in (0,1)$ 为常数且 $s_n$ 可 summable 的情况下，简化速率，得到包含 $\varepsilon$、$d_C$、$\lambda$ 和 $\sum s_n$ 的柯西模的闭式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在广义几何设定下，对非扩张映射的 Ishikawa 迭代的渐近正则性进行量化，获得有效且统一的速率？
• RQ2 在 $UCW$-双曲空间中，非扩张映射不动点的存在性是否对应于迭代序列的有界性？能否进行定量刻画？
• RQ3 证明挖掘技术能否提取 $UCW$-双曲空间中 Ishikawa 迭代的可计算收敛速率，即使在均匀凸巴拿赫空间的情形下？
• RQ4 有效渐近正则性速率如何依赖于空间的几何结构、一致凸模以及迭代参数？
• RQ5 当集合 $C$ 有界时，能否使收敛速率与非扩张映射 $T$ 和初始点 $x$ 无关？

主要发现

• 本文证明了完备的 $UCW$-双曲空间对有界序列具有唯一的渐近中心，推广了均匀凸巴拿赫空间的关键性质。
• 通过迭代序列的有界性，给出了 $UCW$-双曲空间中非扩张映射不动点存在的新刻画，扩展了 Browder-Goehde-Kirk 定理。
• 首次为 $UCW$-双曲空间中的 Ishikawa 迭代推导出渐近正则性的有效速率，即使在均匀凸巴拿赫空间的情形下也属首次。
• 当 $C$ 有界时，速率 $\Phi(\varepsilon, \eta, d_C, \theta, L, N_0, \gamma)$ 关于 $T$ 和 $x$ 是统一的，仅依赖于 $\varepsilon$、$d_C$、$\eta$ 以及迭代参数。
• 在 $\lambda_n = \lambda$ 为常数的情况下，速率简化为 $\Phi(\varepsilon, \eta, d_C, \lambda, L, N_0, \delta)$，显式依赖于 $\varepsilon$、$d_C$、$\lambda$ 和 $\sum s_n$ 的柯西模 $\delta$，并给出了闭式表达式。
• 对于 $CAT(0)$-空间，速率变为 $\Phi(\varepsilon, d_C, \lambda, L, N_0, \delta) = \left\lceil \frac{D}{\varepsilon^2} \right\rceil + M$（当 $\varepsilon \leq 4Ld_C$ 时），其中 $D = \frac{16L^2d_C(d_C+1)}{\lambda(1-\lambda)}$，显示出与 $\varepsilon^{-2}$ 的二次依赖关系。