[论文解读] Nonholomic Distributions and Gauge Models of Einstein Gravity

Sergiu I. Vacaru|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2009

Advanced Differential Geometry Research参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文通过非完整分布和非线性联络对爱因斯坦引力进行重表述，表明爱因斯坦方程可等价地通过仿射和德西特标架丛上的规范型模型来描述。通过将Levi-Civita联络变形为具有常数曲率分量的度量相容d-联络，该理论揭示了隐藏的杨-米尔斯型结构，并可通过非完整变量实现新的几何量子化方法。

ABSTRACT

For (2+2)-dimensional nonholonomic distributions, the physical information contained into a spacetime (pseudo) Riemannian metric can be encoded equivalently into new types of geometric structures and linear connections constructed as nonholonomic deformations of the Levi-Civita connection. Such deformations and induced geometric/physical objects are completely determined by a prescribed metric tensor. Reformulation of the Einstein equations in nonholonomic variables (tetrads and new connections, for instance, with constant coefficient curvatures and/or Yang-Mills like potentials) reveals hidden geometric and rich quantum structures. It is shown how the Einstein gravity theory can be re-defined equivalently as certain gauge models on nonholonomic affine and/or de Sitter frame bundles. We speculate on possible applications of the geometry of nonholonomic distributions with associated nonlinear connections in classical and quantum gravity.

研究动机与目标

• 使用非完整分布和非线性联络作为基本几何变量，对广义相对论进行重表述。
• 证明爱因斯坦方程可等价地通过仿射和德西特标架丛上的规范型模型来描述。
• 通过引入具有常数系数曲率的d-联络，揭示引力中隐藏的杨-米尔斯型结构。
• 通过非完整变量和费多索夫型形变量子化方法，为引力的几何框架提供一种量子化方法。
• 探讨非完整几何对经典和量子引力的影响，特别是与旋量场和引力相互作用的关系。

提出的方法

• 使用(2+2)维非完整分布定义非线性联络，并将时空分解为水平与垂直分量。
• 构建度量相容的d-联络（非线性联络结构），其为Levi-Civita联络的推广，并允许曲率分量为常数。
• 引入N-适应线性标架和仿射标架，以在非完整流形上定义丛结构。
• 推导出形变d-张量的引力杨-米尔斯方程，将其与d-联络的曲率分量联系起来。
• 将形式化应用于德西特和仿射标架丛，表明爱因斯坦引力可被重铸为具有非半单结构的规范理论。
• 采用具有N-适应系数的d-张量微分几何，以分离的(h,v)形式计算曲率、Ricci张量和数量曲率。

实验结果

研究问题

• RQ1 爱因斯坦引力能否通过非完整分布和非线性联络而非标准Levi-Civita联络等价地重表述？
• RQ2 将Levi-Civita联络变形为具有常数系数曲率的d-联络，其几何与物理含义为何？
• RQ3 如何利用非完整结构将爱因斯坦方程重铸为仿射和德西特标架丛上的规范模型？
• RQ4 形变d-张量在将d-联络的曲率与杨-米尔斯型方程联系起来方面起什么作用？
• RQ5 非完整约束以何种方式改变引力场方程的对称性与守恒性质？

主要发现

• 爱因斯坦方程可等价地通过非完整变量重表述，其中度量的物理内容被编码在d-联络和非线性联络中。
• Levi-Civita联络的非完整形变产生具有常数系数曲率的d-联络，从而开启新的几何与量子结构。
• 由d-联络导出的Ricci d-张量即使在对称度量下也通常不对称，表明在非完整约束下标准对称性发生破坏。
• 数量曲率被划分为两部分：水平Ricci标量和垂直标量曲率，记为$\overrightarrow{R} + \overleftarrow{S}$，反映了非完整分解的特性。
• 形变张量$_{\shortmid}Z_{\ \alpha\beta}^{\gamma}$完全关联Levi-Civita联络与d-联络系数，表明任一d-联络均可表示为Levi-Civita联络的形变。
• 该理论允许在非完整仿射和德西特标架丛上实现引力的规范型表述，暗示引力与规范理论之间存在更深层次的统一。