[论文解读] Nonholonomic Ricci Flows: I. Riemann Metrics and Lagrange-Finsler Geometry

Sergiu I. Vacaru|ArXiv.org|Dec 6, 2006

Advanced Differential Geometry Research参考文献 19被引用 8

一句话总结

本文引入了在具有非可积分布和非线性联络结构的黎曼流形上定义的非完整 Ricci 流，统一了黎曼几何、拉格朗日-芬斯勒几何与引力模型。研究证明，非完整约束下的 Ricci 流可生成芬斯勒型度量，且正则拉格朗日系统可作为 N-非完整黎曼-嘉当空间中爱因斯坦方程的精确解进行几何建模。

ABSTRACT

In this paper, it is elaborated the theory the Ricci flows for manifolds enabled with nonintegrable (nonholonomic) distributions defining nonlinear connection structures. Such manifolds provide a unified geometric arena for nonholonomic Riemannian spaces, Lagrange mechanics, Finsler geometry, and various models of gravity (the Einstein theory and string, or gauge, generalizations). We follow the method of nonholonomic frames with associated nonlinear connection structure and define certain classes of nonholonomic constraints on Riemann manifolds for which various types of generalized Finsler geometries can be modelled by Ricci flows. We speculate on possible applications of the nonholnomic flows in modern geometry, geometric mechanics and physics.

研究动机与目标

• 开发适用于具有非线性联络结构的非完整流形上的 Ricci 流的统一几何框架。
• 将哈密顿的 Ricci 流理论扩展至非黎曼几何，包括芬斯勒空间与拉格朗日空间。
• 证明非完整约束可从黎曼 Ricci 流诱导出芬斯勒型度量。
• 表明正则拉格朗日几何与芬斯勒几何可作为 N-非完整空间上爱因斯坦方程的精确解实现。
• 探讨 Ricci 流与引力及几何力学中非完整几何结构的相容性。

提出的方法

• 利用非完整标架与非线性联络（N-联络）结构，在黎曼流形上建模广义芬斯勒与拉格朗日几何。
• 应用适应于非完整分布的活动标架法，定义 N-适配基下的 d-联络、d-度量与 d-挠率。
• 通过从基本拉格朗日函数或芬斯勒函数出发的 Sasaki 型提升，构造经典 d-联络与 d-度量。
• 通过对黎曼度量施加非完整约束，推导出 N-非完整流形上的 Ricci 流方程。
• 通过半喷射形式，建立拉格朗日系统的测地线方程与非线性联络结构之间的等价性。
• 利用适配 d-联络的爱因斯坦场方程，证明 N-非完整配置可在引力理论中产生精确解。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有非完整分布的黎曼流形上，Ricci 流能否生成芬斯勒型度量？
• RQ2 正则拉格朗日系统如何作为非完整空间上爱因斯坦方程的精确解进行几何建模？
• RQ3 非线性联络与 d-联络在将 Ricci 流推广至非黎曼几何中起什么作用？
• RQ4 非完整 Ricci 流在何种条件下能保持度量、联络与非线性结构之间的相容性？
• RQ5 非完整约束如何影响爱因斯坦引力与弦理论中引力配置的演化？

主要发现

• 当受非可积分布约束时，非完整 Ricci 流可从黎曼初始数据诱导出芬斯勒型度量。
• 正则拉格朗日力学可作为具有经典 N-联络与 d-联络结构的非完整黎曼-嘉当流形进行几何实现。
• 经典 d-联络与 d-度量由基本拉格朗日函数唯一确定，从而实现了力学与引力的几何统一。
• 当经典 N-联络、d-度量与 d-联络由拉格朗日函数或芬斯勒函数导出时，N-非完整空间上存在爱因斯坦方程的精确解。
• 即使 $\widehat{\mathbf{D}} \neq \nabla$，非完整配置仍可满足 $\mathbf{Ric}(\widehat{\mathbf{D}}) = \mathrm{Ric}(\nabla)$，从而在不具 Levi-Civita 相容性的情况下生成爱因斯坦空间。
• 该理论提供了一个几何框架，使芬斯勒-Ricci 流与非完整引力模型能自然地从一致的几何与物理约束中导出。