[论文解读] Nonholonomic systems on Lie algebroids

Jorge Cortés, Manuel de León+2 more|ArXiv.org|Apr 24, 2008

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 27被引用 3

一句话总结

本文提出了一套用于李代数丛上非完整系统的几何框架，将经典非完整力学推广至更广泛的几何结构。通过将拉格朗日函数和变分原理推广至李代数丛设定，作者推导出非完整系统的运动方程，并通过将拉格朗日动力学投影到约束分布上，证明了其几何一致性，从而在李代数丛上建立了非完整动力学的几何一致表述。

ABSTRACT

This paper is a revised version of a previously posted paper in arxiv. The authors posted it as a new submission by mistake. The latest version of the paper can be found at arXiv:math-ph/0512003v2

研究动机与目标

• 将非完整力学从标准流形推广至更一般的李代数丛设定。
• 为李代数丛上的非完整系统开发一个尊重底层几何结构的一致变分框架。
• 通过将拉格朗日动力学投影到约束分布上，推导李代数丛上非完整系统的运动方程。
• 通过确保与李代数丛结构及非完整约束的相容性，建立所得动力学的几何一致性。

提出的方法

• 通过在李代数丛的全空间上定义拉格朗日函数，在李代数丛上表述非完整问题。
• 将非完整约束分布定义为李代数丛的一个子丛，以限制允许的速度。
• 对拉格朗日函数应用变分原理，通过拉格朗日乘子施加约束，推导出受约束的欧拉-拉格朗日方程。
• 利用李代数丛结构及其诱导的联络，将无约束的欧拉-拉格朗日方程投影到约束分布上。
• 通过挠映射和李代数丛括号，将动力学表达为基流形与李代数丛结构的函数。
• 验证所得方程与李代数丛的几何结构一致，并满足非完整约束条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在李代数丛的几何框架内一致地表述非完整约束？
• RQ2 李代数丛上非完整系统的适当变分原理是什么？
• RQ3 将拉格朗日动力学投影到约束分布上，如何得到李代数丛上一致的运动方程组？
• RQ4 李代数丛结构在保持非完整动力学几何一致性方面起到什么作用？
• RQ5 当李代数丛退化为配置流形的切丛时，能否恢复标准的非完整方程？

主要发现

• 本文通过在约束子丛上建立一致的变分原理，成功地将非完整力学推广至李代数丛。
• 所推导的运动方程在几何上是一致的，且尊重李代数丛结构，确保与挠映射和李括号的相容性。
• 非完整动力学通过利用李代数丛的几何数据，将无约束的欧拉-拉格朗日方程投影到约束分布上而获得。
• 当李代数丛取为配置流形的切丛时，该表述退化为经典非完整力学。
• 该方法保持了系统的内在几何特性，为非完整动力学在切丛之外更广泛的几何设定中提供了自然的推广。