[论文解读] Nonisometric Surface Registration via Conformal Laplace-Beltrami Basis Pursuit

Stefan C. Schonsheck, Michael M. Bronstein+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 19, 2018

3D Shape Modeling and Analysis参考文献 36被引用 7

一句话总结

本文提出一种变分方法，通过共形变形对齐两个亏格为零的形状的拉普拉斯-贝尔特里姆（LB）特征系统，实现非等距曲面配准。通过一种新颖的基追踪方案，联合计算共形变形与形变后的LB特征函数，采用增广拉格朗日的邻近交替最小化算法，即使在大变形、噪声和特征点扰动下，仅需少量特征点即可实现高精度的点对点对应关系。

ABSTRACT

Surface registration is one of the most fundamental problems in geometry processing. Many approaches have been developed to tackle this problem in cases where the surfaces are nearly isometric. However, it is much more challenging to compute correspondence between surfaces which are intrinsically less similar. In this paper, we propose a variational model to align the Laplace-Beltrami (LB) eigensytems of two non-isometric genus zero shapes via conformal deformations. This method enables us compute to geometric meaningful point-to-point maps between non-isometric shapes. Our model is based on a novel basis pursuit scheme whereby we simultaneously compute a conformal deformation of a 'target shape' and its deformed LB eigensytem. We solve the model using an proximal alternating minimization algorithm hybridized with the augmented Lagrangian method which produces accurate correspondences given only a few landmark points. We also propose a reinitialization scheme to overcome some of the difficulties caused by the non-convexity of the variational problem. Intensive numerical experiments illustrate the effectiveness and robustness of the proposed method to handle non-isometric surfaces with large deformation with respect to both noise on the underlying manifolds and errors within the given landmarks.

研究动机与目标

• 解决在存在大内在形变的情况下，对非等距3D曲面之间计算精确点对点对应关系的挑战。
• 克服传统谱方法的局限性，即当曲面的LB特征系统因非等距形变而差异过大时，传统方法会失效。
• 开发一种方法，同时计算共形变形并配准LB特征基，而无需显式重建形变流形。
• 确保在实际形状匹配场景中对几何噪声和特征点扰动具有鲁棒性。
• 提供一种变分框架，实现非凸优化下的局部收敛与稳定配准。

提出的方法

• 该方法构建一个变分模型，通过联合优化共形因子与形变后的特征函数，将源形状的LB特征系统与共形变形后的目标形状对齐。
• 采用结合增广拉格朗日法的邻近交替最小化（PAM）算法求解非凸优化问题。
• 算法在共形因子的流形上使用BFGS优化共形因子，同时在正交流形上通过曲线搜索更新形变后的特征函数。
• 该方法利用共形因子与LB谱之间的内在联系，通过谱对齐间接计算共形映射。
• 引入一种重初始化方案，以缓解由问题非凸性引起的收敛问题。
• 理论收敛性由Kurdyka-Lojasiewicz（KL）条件支持，确保算法的局部收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种变分模型，通过共形变形对齐拉普拉斯-贝尔特里姆特征系统，实现非等距曲面的配准？
• RQ2 如何联合优化共形因子与形变后的特征函数，以实现精确的点对点对应？
• RQ3 该方法在处理大变形、噪声以及特征点扰动方面的能力有多强？
• RQ4 该方法能否在不显式计算曲面间共形映射的情况下实现鲁棒且精确的配准？
• RQ5 在优化问题的非凸性条件下，所提出的算法是否能实现局部收敛？

主要发现

• 该方法在高度形变的曲面（如马到象）上实现了高度精确的点对点对应，其测地线误差与真实值相当。
• 该算法对曲面上法向方向的噪声具有鲁棒性，在显著噪声水平下仍能保持较低的测地线误差。
• 特征点的扰动得到有效缓解，即使100%的特征点被扰动，最终映射误差仍保持较低水平。
• 在Faust基准数据集上，该方法在随机对与最不易等距对中均保持了稳定的低平均测地线误差，且在更具挑战性的集合上的表现几乎与较易集合相当。
• 重初始化方案显著提升了非凸优化中的收敛稳定性，使复杂形状对之间也能实现可靠性能。
• 理论分析通过Kurdyka-Lojasiewicz（KL）条件确认了局部收敛性，支持算法的可靠性。