[论文解读] Nonlinear analysis of forced mechanical systems with internal resonance using spectral submanifolds, Part I: Periodic response and forced response curve

Mingwu Li, Shobhit Jain+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2021

Bladed Disk Vibration Dynamics参考文献 58被引用 5

一句话总结

该论文提出了一种基于谱子流形（SSMs）的降阶建模框架，可高效计算具有内部共振的高维非线性机械系统中的周期响应和受迫响应曲线（FRCs）。通过将系统动力学投影到与共振模态相关的二维SSMs上，该方法将FRC计算转化为在降阶模型平衡点上的延拓问题，从而实现对冯·卡曼梁和板等系统中复杂非线性动力学的精确且计算高效的提取。

ABSTRACT

We show how spectral submanifold theory can be used to construct reduced-order models for harmonically excited mechanical systems with internal resonances. Efficient calculations of periodic and quasi-periodic responses with the reduced-order models are discussed in this paper and its companion, Part II, respectively. The dimension of a reduced-order model is determined by the number of modes involved in the internal resonance, independently of the dimension of the full system. The periodic responses of the full system are obtained as equilibria of the reduced-order model on spectral submanifolds. The forced response curve of periodic orbits then becomes a manifold of equilibria, which can be easily extracted using parameter continuation. To demonstrate the effectiveness and efficiency of the reduction, we compute the forced response curves of several high-dimensional nonlinear mechanical systems, including the finite-element models of a von Kármán beam and a plate.

研究动机与目标

• 开发一种计算高效的算法，用于计算具有内部共振的高维机械系统中的周期响应和受迫响应曲线（FRCs）。
• 克服传统数值方法（如直接积分、配点法、谐波平衡法）在大规模有限元模型中计算成本过高的问题。
• 利用谱子流形（SSM）理论构建降阶模型，其维度仅由共振模态的数量决定，而非整个系统规模。
• 通过在SSMs上进行参数延拓，实现对FRC的精确提取，包括孤立子和复杂非线性现象。
• 在具有内部共振的高维系统（如冯·卡曼梁和板）上验证该方法的有效性。

提出的方法

• 该方法通过识别与共振模态子空间相关的谱子流形（SSMs）来构建降阶模型，SSMs是与原点处线性模态子空间相切的最光滑不变流形。
• 全系统的周期响应被识别为降阶系统在SSM上的平衡点，从而可通过数值延拓实现高效计算。
• 受迫响应曲线（FRC）作为降阶模型中平衡点的流形获得，并通过COCO软件中的路径跟踪算法进行追踪。
• 该方法采用COCO中的atlas-1d和atlas-kd算法进行参数延拓，并自定义延拓参数以处理高维问题。
• 网格自适应和误差控制（MXCL）被禁用或仔细管理，以在高维延拓中保持稳定性和准确性，特别是针对大变形情况。
• 该方法在冯·卡曼梁、板和蒂莫辛科梁的有限元模型上进行了验证，结果在不同延拓设置和网格配置下进行了对比。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用谱子流形构建降阶模型，以保留具有内部共振的高维机械系统的关键非线性动力学？
• RQ2 能否基于SSM的降阶模型高效且准确地计算具有内部共振的非线性系统的受迫响应曲线（FRC）？
• RQ3 与直接积分、配点法或谐波平衡法等传统方法相比，基于SSM的降阶在大规模系统中具有哪些计算优势？
• RQ4 延拓参数和数值设置（如步长、残差容差）如何影响高维SSM降阶模型中FRC计算的精度和效率？
• RQ5 基于SSM的降阶在多大程度上能够捕捉共振系统中的复杂非线性现象，如孤立子、饱和效应和能量传递？

主要发现

• 基于SSM的降阶模型可高效计算受迫响应曲线（FRC）作为平衡点的流形，通过数值延拓实现，计算成本远低于全系统方法。
• 在20个单元的冯·卡曼梁（58个自由度）上，使用atlas-1d方法在约6.5小时内计算出FRC，生成175个点，最大延拓步长达到约30，远超默认值0.5。
• 在蒂莫辛科梁的算例中，最大延拓步长超过900，表明即使在大变形情况下，该方法在高维延拓中仍具有鲁棒性。
• 冯·卡曼板的算例中，使用atlas-kd在约11小时内生成了500个点的FRC，预测残差最大值达到10，表明能有效处理高维非线性。
• 当atlas-kd运行中将最大残差提高到100时，FRC在约6小时内完成，生成107个点，表明在允许大步长时，atlas-1d与atlas-kd的计算时间相当。
• 该方法成功捕捉了具有内部共振系统的复杂非线性动力学，包括孤立子和频率稳定化现象，验证了其对复杂模态相互作用的建模能力。