[论文解读] Nonlinear Boundary Output Feedback Stabilization of Reaction Diffusion PDEs.

Hugo Lhachemi, Christophe Prieur|arXiv (Cornell University)|May 18, 2021

Stability and Controllability of Differential Equations参考文献 32被引用 7

一句话总结

本文提出了一种有限维观测器基输出反馈控制器，用于稳定具有罗宾边界条件和边界输入扇区有界非线性的1-D反应-扩散PDE。通过不依赖控制输入时间导数的李雅普诺夫直接法，证明了当观测器维数足够大且非线性处于特定扇区大小范围内时，闭环稳定性是可实现的。

ABSTRACT

This paper studies the design of a finite-dimensional output feedback controller for the stabilization of a reaction-diffusion equation in the presence of a sector nonlinearity in the boundary input. Due to the input nonlinearity, classical approaches relying on the transfer of the control from the boundary into the domain with explicit occurrence of the time-derivative of the control cannot be applied. In this context, we first demonstrate using Lyapunov direct method how a finite-dimensional observer-based controller can be designed, without using the time derivative of the boundary input as an auxiliary command, in order to achieve the boundary stabilization of general 1-D reaction-diffusion equations with Robin boundary conditions and a measurement selected as a Dirichlet trace. We extend this approach to the case of a control applying at the boundary through a sector nonlinearity. We show from the derived stability conditions the existence of a size of the sector (in which the nonlinearity is confined) so that the stability of the closed-loop system is achieved when selecting the dimension of the observer large enough.

研究动机与目标

• 解决由于边界输入非线性而无法使用依赖于控制输入时间导数的经典控制方法的稳定性挑战。
• 开发一种基于有限维观测器的输出反馈控制器，避免显式使用边界控制输入的时间导数。
• 将稳定性框架扩展至边界输入中具有扇区有界非线性的系统。
• 确定闭环系统保持稳定时的条件，特别是观测器维数和非线性允许的扇区大小。

提出的方法

• 采用李雅普诺夫直接法构造稳定性证明，无需依赖边界控制输入的时间导数。
• 设计有限维观测器，从边界处的狄利克雷迹测量中估计系统状态。
• 将基于观测器的状态估计集成到边界处的反馈控制律中，该控制律包含扇区非线性。
• 推导出将观测器维数与非线性扇区大小关联到闭环稳定性的充分条件。
• 利用具有罗宾边界条件的反应-扩散PDE的结构，确保李雅普诺夫泛函的存在性以进行稳定性分析。
• 证明增加观测器维数可实现稳定，即使非线性位于有界扇区内。

实验结果

研究问题

• RQ1 有限维观测器基输出反馈控制器能否稳定具有罗宾边界条件和边界输入非线性的1-D反应-扩散PDE？
• RQ2 在存在扇区有界非线性的情况下，是否可能在不依赖控制输入时间导数的条件下实现稳定？
• RQ3 对于给定的非线性扇区大小，使系统稳定的最小观测器维数是多少？
• RQ4 包含非线性的扇区大小如何影响闭环系统的稳定性？
• RQ5 在何种条件下，基于李雅普诺夫的稳定性分析能保证闭环系统原点的渐近稳定？

主要发现

• 有限维观测器基输出反馈控制器可稳定具有罗宾边界条件和边界输入非线性的1-D反应-扩散PDE。
• 控制器设计不需控制输入的时间导数，使得该方法可应用于此类导数不可用或未定义的系统。
• 当观测器维数相对于非线性扇区大小足够大时，闭环系统的稳定性可得到保证。
• 非线性必须被限制在特定大小范围内，该界限由李雅普诺夫分析导出的稳定性条件确定。
• 闭环系统存在李雅普诺夫泛函，证实了在所提控制律下原点的渐近稳定性。
• 该方法可推广至具有狄利克雷迹测量和边界控制扇区非线性的通用1-D反应-扩散方程。