[论文解读] Nonlinear boundary problem for Harmonic functions in higher dimensional Euclidean half-spaces

Marcelo F. de Almeida, Lidiane S. M. Lima|arXiv (Cornell University)|Jul 11, 2018

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文通过基于弱-Morrey 空间的新型框架，建立了高维上半空间中非线性诺伊曼边界问题的正解存在性。通过引入具有受控可积性的函数的巴拿赫空间，并在此空间中应用压缩映射，作者证明了当 $ n/(n-1) < \rho < \infty $ 时，对于弱-Morrey 空间中的奇异性数据 $ f $ 和势能 $ V $，解的存在性，从而恢复并扩展了关于半拉普拉斯问题的已知结果。

ABSTRACT

In this paper we are interested on solvability of the problem \begin{align*} \begin{cases} -Δu=0 &amp; ext{in} \;\;\;\mathbb{R}^{n+1}_{+}\;\;\;\;\;\;\;\;\;\\ \;\;\displaystyle{\frac{\partial u}{\partial ν}} = V(x)u+b \vert u\vert^{ρ-1}u+f \; &amp; ext{on} \;\;\partial\mathbb{R}^{n+1}_+\;\;\;\;\;\;\;\;\,\, \end{cases} \end{align*} %Laplace equation in the upper half-space with nonlinear Neumann boundary with high singular data $f$ and potential $V$ on boundary $\partial\mathbb{R}^{n+1}_+$ of half-space $ \mathbb{R}^{n+1}_{+}=\{(x,t)\in\mathbb{R}^{n+1}\,\vert\, t&gt;0\}$ for $n\geq 2$. More precisely, inspired at \cite{deAlmeida1} and \cite{Quittner} we introduce a new functional space based in weak-Morrey spaces and we shown existence of positive solutions $u$ to the above problem when inhomogeneous term $f\in ext{weak-}\mathcal{M}_{p}^{n{(ρ-1)}/ρ}(\mathbb{R}^{n})$ and potential $V\in ext{week-}\mathcal{M}^{n}_{\ell}(\mathbb{R}^{n})$ are sufficiently small in the natural $n/(n-1)

研究动机与目标

• 在 $ \mathbb{R}^{n+1}_+ $ 中建立调和函数非线性边值问题适定性的研究，处理粗糙数据。
• 将可解性结果扩展至弱-Morrey 空间中的非齐次项 $ f $ 和势能 $ V $，这些空间大于经典的勒贝格空间或 Morrey 空间。
• 恢复非线性指数 $ \rho $ 的范围 $ (n+1)/(n-1) \leq \rho < \infty $，并改进先前结果。
• 通过卡姆帕纳托引理证明解具有局部赫尔德连续性，即使 $ f $ 和 $ V $ 是粗糙的。
• 通过诺伊曼-狄利克雷映射将局部问题与非局部半拉普拉斯方程联系起来。

提出的方法

• 引入一个新的巴拿赫空间 $ X^{1,\infty,\infty}_{rq}(\mathbb{R}^{n+1}_+) $，以处理不规则区域中迹与梯度的可积性。
• 定义解算子 $ \Psi(u) = \mathbf{S}f + \mathcal{T}_V(u) + \mathcal{B}(u) $，结合单层势、势项与非线性项。
• 在 $ X^{1,\infty,\infty}_{rq}(\mathbb{R}^{n+1}_+) $ 中应用压缩映射原理，证明当 $ \|V\|_{\mathcal{M}^{n}_{\ell,\infty}} < 1 $ 且 $ \|f\|_{\mathcal{M}^{\omega}_{p,\infty}} $ 较小时，$ \Psi $ 是压缩映射。
• 利用弱-Morrey 范数与分数阶极大函数的估计，控制非线性项与势项。
• 利用半拉普拉斯与诺伊曼-狄利克雷映射之间的关系，将局部问题与非局部方程联系起来。
• 应用卡姆帕纳托引理，证明解 $ u \in C^{0,\alpha}_{\text{loc}}(\overline{\mathbb{R}^{n+1}_+}) $ 的局部赫尔德正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 非线性诺伊曼问题在调和函数中的可解范围能否扩展到比以往已知更粗糙的数据？
• RQ2 何种函数空间框架允许在非齐次项 $ f $ 与势能 $ V $ 属于弱-Morrey 空间时，保证解的存在性？
• RQ3 具有非线性诺伊曼数据的局部调和问题的解是否对应于非局部半拉普拉斯方程的解？
• RQ4 使用弱-Morrey 空间如何改进非线性项 $ |u|^{\rho-1}u $ 中可允许指数 $ \rho $ 的范围？
• RQ5 在对 $ f $ 与 $ V $ 的可积性假设最小化时，能否建立解的局部赫尔德正则性？

主要发现

• 当 $ \|f\|_{\mathcal{M}^{n(\rho-1)/\rho}_{p,\infty}(\mathbb{R}^n)} \leq \varepsilon/C $ 且 $ \|V\|_{\mathcal{M}^n_{\ell,\infty}(\mathbb{R}^n)} < 1 $，对于足够小的 $ \varepsilon > 0 $，本文证明了非线性诺伊曼问题存在一个正解 $ u \in X^{1,\infty,\infty}_{rq}(\mathbb{R}^{n+1}_+) $。
• 解具有局部赫尔德连续性：$ u \in C^{0,\alpha}_{\text{loc}}(\overline{\mathbb{R}^{n+1}_+}) $，该结论通过卡姆帕纳托引理建立。
• 该方法恢复了此前经典函数空间无法达到的精确范围 $ (n+1)/(n-1) \leq \rho < \infty $。
• 该解框架可推广至非局部半拉普拉斯方程 $ (-\Delta)^{1/2}v = Vv + b|v|^{\rho-1}v + f $，其中 $ f $ 与 $ V $ 属于弱于 $ L^\lambda $ 的空间。
• 包含链 $ L^\lambda \subset \mathcal{M}^\lambda_p \subset \text{weak-}\mathcal{M}^\lambda_p $（当 $ 1 < p < \lambda < \infty $ 时）允许处理比以往更粗糙的数据。
• 压缩映射论证确保了解在巴拿赫空间 $ X^{1,\infty,\infty}_{rq}(\mathbb{R}^{n+1}_+) $ 的小球内唯一。