[论文解读] Nonlinear Connections on Gerbes, Clifford Modules, and the Index Theorems

Sergiu I. Vacaru, Juan F. González--Hernández|arXiv (Cornell University)|Jun 21, 2005

Algebraic and Geometric Analysis被引用 2

一句话总结

本文提出了一套非完整丛丛丛（nonholonomic bundle gerbes）的几何框架，结合非线性联络，将其形式化为非旋流形上的克利福德模，以定义非完整狄拉克算子并推导阿蒂亚-辛格指标定理。其核心贡献在于为引力与几何力学中的非完整结构建立了广义指标理论。

ABSTRACT

The geometry of nonholonomic bundle gerbes provided with nonlinear connection structure and related nonholonomic gerbe modules is elaborated as the theory of Clifford modules on nonholonomic manifolds which positively fail to be spin. We explore an approach to such nonholonomic Dirac operators and derive the related Atiyah–Singer index formulas. There are considered certain applications in modern gravity and geometric mechanics of such Clifford–Lagrange / Finsler gerbes and their realizations as nonholonomic Clifford and Riemann– Cartan modules. Keywords: Nonholonomic gerbes, nonlinear connections, Riemann–Cartan

研究动机与目标

• 将狄拉克算子与指标定理的理论扩展至非旋结构的非完整流形。
• 为配备非线性联络的非完整丛丛丛建立几何框架。
• 将非完整克利福德模与黎曼-嘉当模形式化为丛丛丛模的实现。
• 利用克利福德模理论推导非完整狄拉克算子的指标公式。
• 为涉及芬斯勒型与拉格朗日型结构的现代引力与几何力学应用提供理论基础。

提出的方法

• 使用纤维丛上的非线性联络建模非完整丛丛丛，以描述不可积分布。
• 在不具有旋结构的非完整流形上构造克利福德模。
• 将非完整狄拉克算子定义为这些克利福德模上的首阶椭圆微分算子。
• 通过非完整丛丛丛模上的局部指标公式，将阿蒂亚-辛格指标定理应用于非完整狄拉克算子。
• 利用黎曼-嘉当几何描述非完整结构中的曲率与挠率。
• 将克利福德-拉格朗日与芬斯勒丛丛丛实现为几何力学与引力中非完整系统的几何模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在非旋但非完整的流形上定义狄拉克算子？
• RQ2 配备非线性联络的非完整丛丛丛具有何种结构？
• RQ3 非完整流形上的克利福德模如何与阿蒂亚-辛格指标定理相关联？
• RQ4 非完整结构在引力与力学中的几何与拓扑意义为何？
• RQ5 如何将芬斯勒与拉格朗日型丛丛丛实现为非完整的克利福德模？

主要发现

• 非完整狄拉克算子被构造为在非旋、非完整流形上的克利福德模上的首阶椭圆微分算子。
• 通过非完整丛丛丛模上的局部指标公式，将阿蒂亚-辛格指标公式推广至非完整结构。
• 非完整黎曼-嘉当几何提供了指标计算所必需的曲率与挠率框架。
• 克利福德-拉格朗日与芬斯勒丛丛丛作为几何力学中非完整模的自然几何实现而浮现。
• 该理论使具有不可积分布的系统能够进行指标理论分析，与现代引力模型密切相关。
• 该框架为无法应用标准旋几何的非完整结构建立了自洽的指标理论。