[论文解读] Nonlinear discrete-time quantum walk and anomalous diffusion

Tatsuaki Wada, Yutaka Shikano|arXiv (Cornell University)|Mar 14, 2013

Quantum Computing Algorithms and Architecture被引用 1

一句话总结

本文提出了一种用于一维离散时间量子行走的非线性前馈量子币模型，其中币操作依赖于前一ored的币状态。与表现出弹道输运的常规量子行走不同，该模型诱导出由多孔介质方程描述的异常缓慢扩散，揭示了一类具有非平凡离散-连续对应关系的新量子动力学行为。

ABSTRACT

Constructing a discrete model like a cellular automaton is a powerful method for understanding various dynamical systems. However, the relationship between the discrete model and its continuous analogue is, in general, nontrivial. As a quantum-mechanical cellular automaton, a discrete-time quantum walk is defined to include various quantum dynamical behavior. Here we generalize a discrete-time quantum walk on a line into the feed-forward quantum coin model, which depends on the coin state of the previous step. We show that our proposed model has an anomalous slow diffusion characterized by the porous-medium equation, while the conventional discrete-time quantum walk model shows ballistic transport.

研究动机与目标

• 探索离散量子行走模型与其连续类比之间的关系，特别是在非平凡动力学区域。
• 解决离散时间量子行走中缺乏展现异常扩散的模型的问题，与标准的弹道输运形成对比。
• 通过在币操作中引入依赖于先前币状态的前馈机制，推广离散时间量子行走。
• 研究此类币演化中的非线性反馈是否能导致类似于经典多孔介质动力学的扩散行为。

提出的方法

• 该模型通过使币操作依赖于前一时间步的币状态，推广了标准的离散时间量子行走，从而引入非线性性。
• 币演化遵循前馈规则，即当前币状态由前一币状态的函数决定，从而实现依赖记忆的动力学。
• 系统在一条一维格点上进行模拟，其幺正演化由编码非线性反馈的时间依赖币算符控制。
• 通过分析结果的概率分布，识别输运行为，特别是二阶矩随时间的标度行为。
• 将模型的连续极限与多孔介质方程进行比较，以确认异常扩散区域。

实验结果

研究问题

• RQ1 在量子币操作中引入前馈依赖关系，如何改变离散时间量子行走的输运特性？
• RQ2 非线性离散量子行走模型能否展现异常扩散而非弹道输运？
• RQ3 所提出的非线性量子行走模型的连续类比是什么？它与已知的非线性扩散方程有何关系？
• RQ4 非线性反馈机制是否导致与标准量子行走有根本区别的独特动力学区域？

主要发现

• 所提出的非线性前馈量子行走模型表现出异常缓慢扩散，其特征为二阶矩随时间呈现次弹道标度。
• 在连续极限下，该扩散行为由多孔介质方程描述，表明其为非线性扩散过程。
• 与表现出弹道输运（二阶矩标度为t²）的常规离散时间量子行走不同，新模型的二阶矩标度为t^α（其中α < 2），表明其为次扩散动力学。
• 币操作中的非线性反馈对于诱导异常扩散至关重要，因为它破坏了标准量子行走的线性性与时间平移不变性。