[论文解读] Nonlinear Electromagnetic Self-Duality and Legendre Transformations

Mary K. Gaillard, Bruno Zumino|ArXiv.org|Dec 10, 1997

Geophysics and Gravity Measurements参考文献 1被引用 30

一句话总结

本文建立了四维场论中非线性电磁自对偶性与Legendre变换之间的联系，表明当拉格朗日量适当变换时，由Sp(2n,R)群生成的连续对偶旋转保持运动方程不变。关键结果是：在连续对偶下自对偶的理论等价于在Legendre变换下封闭的理论，且SL(2,R)群结构自然地由此对偶性产生，尤其在Born-Infeld理论和标量-张量耦合的轴子-稀释子理论中表现显著。

ABSTRACT

We discuss continuous duality transformations and the properties of classical theories with invariant interactions between electromagnetic fields and matter. The case of scalar fields is treated in some detail. Special discrete elements of the continuous group are shown to be related to the Legendre transformation with respect to the field strengths.

研究动机与目标

• 理解含物质场的经典电磁理论在场强连续对偶旋转下保持不变的条件。
• 阐明Legendre变换在关联非线性电磁拉格朗日量对偶表述中的作用。
• 证明在连续对偶下自对偶的理论等价于在Legendre变换下封闭的理论。
• 展示SL(2,R)对偶群如何自然地从标量-张量耦合系统中对偶不变性与Legendre对偶性的相互作用中产生。
• 建立一个理解超对称及弦理论背景下自对偶性的框架，特别是在存在磁荷（dyons）和离散对偶群的情况下。

提出的方法

• 推导场强F和对偶场强G的无穷小对偶变换，其参数由满足Sp(2n,R)约束的矩阵表示。
• 利用拉格朗日量在对偶变换下改变为特定双线性形式（FBF̃ + GCG̃）的条件，以保持运动方程不变。
• 使用φ₀和φ₁矩阵在复数基下表达对偶变换，将实对称变换与类似酉的结构联系起来。
• 对拉格朗日量实施Legendre变换，通过∂L/∂F = G̃/2定义对偶场强G̃，并证明L − ¼F·G̃在对偶变换下保持不变。
• 证明对偶性与Legendre对偶性的结合导致完整的SL(2,R)不变性，尤其当标量场被归一化为τ = cS时。
• 利用泛函积分公式在量子层面解释Legendre变换，将其视为在加入源项−½FFD后对场强F的积分，从而将经典对偶性与有效场论中的量子对偶性联系起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，含物质场的经典电磁理论在场强的连续对偶旋转下保持不变？
• RQ2 Legendre变换如何与非线性电动力学中的离散对偶变换（如F → G, G → −F）相关联？
• RQ3 标量场S在自对偶理论中实现SL(2,R)对偶群的角色是什么？
• RQ4 L − ¼F·G̃在对偶变换下的不变性如何导致SL(2,R)对称性的出现？
• RQ5 在路径积分量化背景下，Legendre变换的量子力学解释是什么？

主要发现

• 拉格朗日量本身在对偶变换下不保持不变，但若变换矩阵满足Sp(2n,R)条件，则组合L − ¼F·G̃在连续对偶变换下保持不变。
• Legendre变换将一个场强为F的理论映射为一个场强为G的对偶理论，当c=1时，对偶拉格朗日量满足L_D(S, G) = −L(−1/S, −G̃)。
• 当连续对偶与Legendre对偶均封闭时，完整的SL(2,R)对偶群自然出现，其生成元为τ → −1/τ和τ → τ + 1。
• 由于能量-动量张量是拉格朗日量对度规的变分导数，且拉格朗日量对不变参数（如耦合常数）的导数保持不变，因此能量-动量张量在对偶变换下保持不变。
• 在存在dyons的情况下，连续的SL(2,R)对偶性被约化为由τ → −1/τ和τ → τ + 1生成的离散子群SL(2,Z)。
• 在量子路径积分公式中，Legendre变换被实现为在加入源项−½FF_D后对场强F的积分，从而将经典对偶性与有效场论中的量子对偶性联系起来。