[论文解读] Nonlinear elliptic equations with measures revisited

Haı̈m Brezis, Moshe Marcus+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 23, 2013

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 27被引用 6

一句话总结

本文研究了具有测度数据的非线性椭圆方程的可解性，重点关注当非线性项出现临界增长时经典解不存在的情况。通过引入基于截断的逼近方案并分析近似解的收敛性，作者建立了奇异集的容量与解的存在性之间的精确联系，证明了与拉普拉斯算子和 $L^1$-函数相关的容量等于经典 $H^1$-容量的两倍。

ABSTRACT

We study the existence of solutions of the nonlinear problem $$ \left\{ \begin{alignedat}{2} -Δu + g(u) & = μ& & \quad ext{in } Ω,\\ u & = 0 & & \quad ext{on } \partial Ω, \end{alignedat} ight. $$ where $μ$ is a Radon measure and $g : \mathbb{R} o \mathbb{R}$ is a nondecreasing continuous function with $g(0) = 0$. This equation need not have a solution for every measure $μ$, and we say that $μ$ is a good measure if the Dirichlet problem above admits a solution. We show that for every $μ$ there exists a largest good measure $μ^* \leq μ$. This reduced measure has a number of remarkable properties.

研究动机与目标

• 理解当非线性项达到临界增长时，非线性椭圆方程解不存在的机制。
• 分析当原始问题因测度数据超过可积性阈值而无解时，近似解的行为。
• 表征解存在的测度集合，特别是在临界和超临界情形下。
• 建立与拉普拉斯算子相关的容量和经典 $H^1$-容量之间的精确关系。
• 通过改进逼近技术，将解的存在性和收敛性结果推广到符号测度和更一般的数据。

提出的方法

• 提出一种基于截断的逼近方案，其中非线性项 $g$ 被替换为在紧集上一致收敛的亚临界函数序列 $g_n$。
• 通过对偶性定义弱解：若对所有 $\zeta \in C^2_0(\overline{\Omega})$，有 $\int_\Omega u(-\Delta\zeta) + \int_\Omega g(u)\zeta = \int_\Omega \zeta\,d\mu$，则 $u$ 解 (0.1)。
• 应用容量理论，特别是 $H^1$-容量和与 $\Delta$ 相关的容量 $\operatorname{cap}_{\Delta,1}$，以表征阻碍解存在的奇异集。
• 采用卷积和光滑化技术对数据进行正则化，并构造逼近序列。
• 通过构造次调和函数及其截断，建立 $L^1$-范数与 $H^1$-容量之间的关键对偶关系。
• 证明对于任意紧集 $K \subset \Omega$，有 $\operatorname{cap}_{\Delta,1}(K) = 2\operatorname{cap}_{H^1}(K)$，利用精心构造的测试函数序列和容量估计。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $\mu$ 为测度且 $g$ 为临界或超临界时，方程 $-\Delta u + g(u) = \mu$ 在什么条件下存在解？
• RQ2 当原始问题因测度集中或临界非线性而无解时，近似解序列 $u_n$ 的行为如何？
• RQ3 如何用测试函数的拉普拉斯算子的 $L^1$-范数表征紧集 $K$ 的容量？
• RQ4 $H^1$-容量与与 $\Delta$ 相关的容量 $\operatorname{cap}_{\Delta,1}$ 之间的精确关系是什么？
• RQ5 即使在临界情况下，是否能通过将 $\mu$ 分解为 $L^1$ 和 $L^p$ 分量来表征解的存在性？

主要发现

• 当 $g(t) = |t|^{p-1}t$ 且 $p \geq \frac{N}{N-2}$，$\mu = \delta_a$（狄拉克质量）时，方程 $-\Delta u + g(u) = \mu$ 无解，即使非线性项连续且非减。
• 当 $p < \frac{N}{N-2}$ 时，对任意测度 $\mu$，方程均有解，确认了解存在的亚临界阈值。
• 容量 $\operatorname{cap}_{\Delta,1}(K)$ 定义为 $\|\Delta\varphi\|_{L^1}$ 在所有满足 $\varphi \geq 1$ 于 $K$ 的 $\varphi \in C^2_c(\Omega)$ 中的下确界，满足 $\operatorname{cap}_{\Delta,1}(K) = 2\operatorname{cap}_{H^1}(K)$。
• 通过截断 $g_n \nearrow g$ 的逼近方案，得到的解 $u_n$ 弱收敛于极限，即使 $\mu$ 非平凡，该极限也可能为零，说明了解存在的失败。
• 解的存在性等价于对所有满足 $\operatorname{cap}_{2,p'}(A) = 0$ 的博雷尔集 $A$，有 $|\mu|(A) = 0$，在临界情况下确认了 Baras-Pierre 的表征。
• 容量恒等式的证明依赖于构造一列光滑且紧支集的函数 $\psi_n$，使得 $\|\Delta\psi_n\|_{L^1} \to 2\operatorname{cap}_{H^1}(K)$，且 $\psi_n = 1$ 在 $K$ 附近，满足 $0 \leq \psi_n \leq 1$。