[论文解读] Nonlinear Expectations and Stochastic Calculus under Uncertainty

Shigē Péng|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2010

Risk and Portfolio Optimization被引用 84

一句话总结

本文提出了一套在模型不确定性下的非线性期望与随机微积分的新框架，以次线性期望取代经典概率，以建模模糊分布。在弱独立同分布假设下，建立了鲁棒的大数定律与中心极限定理，导出G-布朗运动以及 governing 限制分布的完全非线性偏微分方程（G-方程），为鲁棒金融建模与不确定性量化提供了严格的理论基础。

ABSTRACT

In this book, we introduce a new approach of sublinear expectation to deal with the problem of probability and distribution model uncertainty. We a new type of (robust) normal distributions and the related central limit theorem under sublinear expectation. We also present a new type of Brownian motion under sublinear expectations and the related stochastic calculus of Ito's type. The results provide robust tools for the problem of probability model uncertainty arising from financial risk management, statistics and stochastic controls.

研究动机与目标

• 在模型不确定性下发展一种鲁棒的随机微积分框架，以次线性期望取代经典概率。
• 将经典大数定律与中心极限定理推广至底层概率分布模糊或不精确的场景。
• 通过证明在分布不确定性下G-正态分布自然出现，为实践中使用正态分布提供理论基础，即使数据存在不一致。
• 将不确定性下的随机过程与二阶完全非线性偏微分方程（HJB方程），特别是G-方程，建立联系。
• 为在模型模糊性下进行风险管理和金融定价提供数学上严格且计算上可处理的工具。

提出的方法

• 定义次线性期望 $\mathbb{E}[X] = \sup_{\theta \in \Theta} \mathbb{E}_\theta[X]$，表示在一组概率测度 $\{P_\theta\}$ 上的上期望。
• 在弱独立同分布假设下引入 $\mathbb{E}$-独立性与 $\mathbb{E}$-同分布的概念，其中分布被限制在集合 $\{F_\theta(x)\}$ 内。
• 建立一个新的大数定律：$\lim_{n\to\infty} \mathbb{E}[\varphi(S_n/n)] = \sup_{\underline{\mu} \leq v \leq \overline{\mu}} \varphi(v)$，表明收敛至狄拉克测度的集合。
• 推导出鲁棒的中心极限定理：$\lim_{n\to\infty} \mathbb{E}[\varphi(S_n/\sqrt{n})] = \mathbb{E}[\varphi(X)]$，其中 $X$ 为具有方差不确定性 $[\underline{\sigma}^2, \overline{\sigma}^2]$ 的G-正态分布。
• 通过G-方程 $\partial_t u + G(Du, D^2u) = 0$ 建模极限分布，其中 $G(a) = \frac{1}{2}(\overline{\sigma}^2 a^+ - \underline{\sigma}^2 a^-)$，将随机过程与完全非线性偏微分方程联系起来。
• 利用粘性解理论与Krylov（2008）的正则性估计，证明G-方程解的存在性与Hölder连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当底层概率分布模糊或不精确时，经典大数定律如何推广？
• RQ2 在分布不确定性下，归一化和的极限分布是什么？它与经典正态分布有何不同？
• RQ3 能否在不假设固定概率测度下i.i.d.抽样的前提下建立鲁棒的中心极限定理？
• RQ4 不确定性下的随机过程与完全非线性偏微分方程之间有何联系？
• RQ5 如何计算G-正态随机变量函数的期望？凸性与凹性在计算中起什么作用？

主要发现

• 鲁棒的大数定律表明 $\mathbb{E}[\varphi(S_n/n)]$ 收敛于 $\sup_{\underline{\mu} \leq v \leq \overline{\mu}} \varphi(v)$，显示经验均值集中在区间 $[\underline{\mu}, \overline{\mu}]$ 内。
• 鲁棒的中心极限定理给出 $\lim_{n\to\infty} \mathbb{E}[\varphi(S_n/\sqrt{n})] = \mathbb{E}[\varphi(X)]$，其中 $X \sim N(\{0\} \times [\underline{\sigma}^2, \overline{\sigma}^2])$，即G-正态分布。
• 当 $\varphi$ 为凸函数时，$\mathbb{E}[\varphi(X)] = \frac{1}{\sqrt{2\pi\overline{\sigma}^2}} \int_{-\infty}^\infty \varphi(x) \exp(-x^2/(2\overline{\sigma}^2)) dx$；当 $\varphi$ 为凹函数时，$\overline{\sigma}^2$ 被 $\underline{\sigma}^2$ 替代。
• 当 $\underline{\sigma} = \overline{\sigma} = \sigma$ 时，G-正态分布退化为经典正态分布 $N(0, \sigma^2)$，从而恢复经典中心极限定理。
• 随机变量 $X$ 的分布由PDE $\partial_t u = G(u_{xx})$ 的解 $u(t,x) = \mathbb{E}[\varphi(x + \sqrt{t}X)]$ 描述，其中 $G(a) = \frac{1}{2}(\overline{\sigma}^2 a^+ - \underline{\sigma}^2 a^-)$。
• G-方程的解被证明具有Hölder连续性，指数 $\alpha \in (0,1)$，其依赖于维度与强椭圆常数 $\varepsilon, K$，从而保证了解的正则性与适定性。