[论文解读] Nonlinear Fokker-Planck equations for Probability Measures on Path Space and Path-Distribution Dependent SDEs

Xing Huang, Michael Röckner+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 2, 2017

Stochastic processes and financial applications参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文通过路径-分布依赖的SDE，建立了路径空间上概率测度的非线性Fokker-Planck方程解的存在性、唯一性与正则性。在系数条件较弱的情况下，推导出Harnack不等式、导数估计以及Wasserstein连续性，将经典结果推广至具有路径历史分布依赖的记忆型系统。

ABSTRACT

By investigating path-distribution dependent stochastic differential equations, the following type of nonlinear Fokker--Planck equations for probability measures $(μ_t)_{t \geq 0}$ on the path space $\mathcal C:=C([-r_0,0];\mathbb R^d),$ is analyzed: $$\partial_t μ(t)=L_{t,μ_t}^*μ_t,\ \ t\ge 0,$$ where $μ(t)$ is the image of $μ_t$ under the projection $\mathcal C iξ\mapsto ξ(0)\in\mathbb R^d$, and $$L_{t,μ}(ξ):= \frac 1 2\sum_{i,j=1}^d a_{ij}(t,ξ,μ)\frac{\partial^2} {\partial_{ξ(0)_i} \partial_{ξ(0)_j}} +\sum_{i=1}^d b_i(t,ξ,μ)\frac{\partial}{\partial_{ξ(0)_i}},\ \ t\ge 0, ξ\in \mathcal C, μ\in \mathcal P^{\mathcal C}.$$ Under reasonable conditions on the coefficients $a_{ij}$ and $b_i$, the existence, uniqueness, Lipschitz continuity in Wasserstein distance, total variational norm and entropy, as well as derivative estimates are derived for the martingale solutions.

研究动机与目标

• 分析由路径-分布依赖SDE驱动的路径空间上概率测度的非线性Fokker-Planck方程。
• 在较弱的系数条件下，建立鞅解的存在性、唯一性与正则性。
• 推导测度演化在Wasserstein距离、总变差范数与熵下的定量估计。
• 将Harnack不等式与导数估计推广至具有路径依赖性与分布影响的扩散过程。

提出的方法

• 在路径空间 $\mathscr{C} = C([-r_0,0]; \mathbb{R}^d)$ 上建立非线性Fokker-Planck方程，其系数依赖于当前路径及其分布。
• 引入路径-分布依赖SDE：$\text{d}X(t) = \bar{b}(t,X_t)\text{d}t + \sigma(t)\text{d}W(t)$，其中漂移项依赖于路径段的分布。
• 应用测度变换耦合技术，推导关联半群的Harnack不等式与导数估计。
• 利用SDE的有限时间边缘分布演化，定义路径测度上的非线性Fokker-Planck方程 $\partial_t \mu_t = L_{t,\mu_t}^* \mu_t$。
• 对 $\sigma^{-1}$ 与 $\nabla b$ 施加条件，以确保有限上界 $\Lambda(T)$ 与 $K(T)$，从而实现梯度估计。
• 应用Riesz表示定理，推导出在 $\mathbb{H}^1$ 方向上测度导数的 $L^2$-正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，路径空间上的非线性Fokker-Planck方程对给定初始测度存在唯一的鞅解？
• RQ2 在非线性Fokker-Planck动力学下，Wasserstein距离、总变差与熵如何演化？
• RQ3 能否为具有记忆效应的路径-分布依赖SDE建立Harnack型不等式？
• RQ4 解过程在路径空间中的分布的导数估计是什么？其依赖于系数结构的何种形式？
• RQ5 当初始路径发生平移时，解过程的分布如何变化？其具备何种正则性性质？

主要发现

• 本文在合理的系数条件下，建立了路径空间上非线性Fokker-Planck方程鞅解的存在性与唯一性。
• 证明了解映射在Wasserstein距离、总变差范数与熵下的Lipschitz连续性，且显式界依赖于 $\Lambda(T)$ 与 $K(T)$。
• 推导出Harnack不等式：$ (P_T f)^p(\mu_0) \leq P_T f^p(\eta + \cdot)(\mu_0) \exp\left[ \frac{p \Lambda(T)(1 + T^2 K(T))}{(p-1)^2} \left( \frac{|\eta(-r_0)|^2}{T - r_0} + \|\eta\|_{\mathbb{H}^1}^2 \right) \right] $，其中 $p > 1$。
• 获得熵界：$ \int \log \frac{d\mu_T(\cdot + \eta)}{d\mu_T} d\mu_T \leq \Lambda(T)(1 + T^2 K(T)) \left( \frac{|\eta(-r_0)|^2}{T - r_0} + \|\eta\|_{\mathbb{H}^1}^2 \right) $。
• 证明了测度 $\mu_T$ 沿 $\eta \in \mathbb{H}^1$ 的导数关于 $\mu_T$ 绝对连续，且其Radon-Nikodym导数满足 $ \int \left| \frac{d \partial_\eta \mu_T}{d \mu_T} \right|^2 d\mu_T \leq \Lambda(T)(1 + K(T)T^2) \left( \frac{|\eta(-r_0)|^2}{T - r_0} + \|\eta\|_{\mathbb{H}^1}^2 \right) $。
• 测度变换耦合方法给出了半群导数的表示：$ \mathbb{E}(\nabla_\eta f)(X_T) = \mathbb{E}\left[ f(X_T) \int_0^T \big\langle \sigma(t)^{-1}(\Phi(t) - \nabla_{\Theta_t} b(t, \cdot, P_t^* \mu_0)(X_t)), dW(t) \big\rangle \right] $。