[论文解读] Nonlinear Fractional Dynamics of Lattice with Long-Range Interaction

Nick Laskin, G. M. Zaslavsky|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2005

Spectroscopy and Quantum Chemical Studies参考文献 5被引用 9

一句话总结

本文提出了一套统一框架，用于研究具有长程幂律相互作用的一维晶格中的非线性动力学，表明此类相互作用在连续极限下会导致分数阶动力学方程。对于相互作用幂次 s < 3（s ≠ 1, 2），系统在广义 sine-Gordon、非线性薛定谔方程及希尔伯特-薛定谔类型方程中表现出分数阶导数；而当 s ≥ 3 时，则恢复为标准的整数阶方程。

ABSTRACT

A unified approach has been developed to study nonlinear dynamics of a 1D lattice of particles with long-range power-law interaction. A classical case is treated in the framework of the generalization of the well-known Frenkel-Kontorova chain model for the non-nearest interactions. Quantum dynamics is considered following Davydov’s approach for molecular excitons. In the continuum limit the problem is reduced to dynamical equations with fractional derivatives resulting from the fractional power of the long-range interaction. Fractional generalizations of the sine-Gordon, nonlinear Schrödinger, and Hilbert-Schrödinger equations have been found. There exists a critical value of the power s of the long-range potential. Below the critical value (s &amp;lt; 3, s ̸ = 1, 2) we obtain equations with fractional derivatives while for s ≥ 3 we have the well-known nonlinear dynamical equations with space derivatives of integer order. Long-range interaction impact on the quantum lattice propagator has been studied. We have shown that the quantum exciton propagator exhibits transition from the well-known Gaussian-like behavior to a power-law decay due to the long-range interaction. A link between 1D quantum lattice dynamics in the imaginary time domain and a random walk model has been discussed.

研究动机与目标

• 将 Frenkel-Kontorova 模型推广至包含非最近邻、长程幂律相互作用。
• 推导此类晶格在连续极限下的动力学方程，并确定分数阶导数出现的条件。
• 利用 Davydov 方法研究长程相互作用晶格中元激发的量子动力学。
• 建立虚时下量子晶格动力学与随机行走模型之间的联系。
• 分析由于长程相互作用导致量子元激发传播器从高斯衰减向幂律衰减转变的机制。

提出的方法

• 对参数化为指数 s 的一维长程幂律相互作用晶格应用连续极限。
• 通过将离散晶格动力学映射到分数阶微分方程，推导有效动力学方程。
• 利用分数阶微积分框架，推广经典方程：sine-Gordon 方程、非线性薛定谔方程及希尔伯特-薛定谔方程。
• 应用 Davydov 方法对晶格中的量子元激发进行建模，将其视为非线性势场中的准粒子。
• 通过虚时下的量子传播器分析，建立晶格动力学与随机过程之间的联系。
• 识别出临界阈值 s = 3，该值将分数阶动力学（s < 3）与整数阶动力学（s ≥ 3）分离开来。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，长程相互作用会导致一维晶格中出现分数阶动力学方程？
• RQ2 临界值 s = 3 如何在连续极限下将分数阶与整数阶动力学区分开来？
• RQ3 长程相互作用对量子元激发传播器衰减行为有何影响？
• RQ4 虚时下的量子晶格动力学如何与随机行走模型相关联？
• RQ5 在此背景下，sine-Gordon 方程与非线性薛定谔方程的分数阶推广形式为何？

主要发现

• 当 s < 3（s ≠ 1, 2）时，连续极限下得到的方程包含分数阶导数，从而推广了经典方程。
• 当 s ≥ 3 时，系统退化为具有整数阶空间导数的标准非线性动力学方程。
• 由于长程相互作用，量子元激发传播器的衰减行为由高斯型衰减转变为幂律衰减。
• 在连续极限下，推导出了 sine-Gordon 方程、非线性薛定谔方程及希尔伯特-薛定谔方程的分数阶推广形式。
• 建立了虚时下一维量子晶格动力学与具有长程相关性的随机行走模型之间的联系。
• 临界指数 s = 3 作为分数阶与整数阶动力学两个动力学相之间的相变边界。