[论文解读] Nonlinear Geometric Optics Based Multiscale Stochastic Galerkin Methods for Highly Oscillatory Transport Equations with Random Inputs

Nicolas Crouseilles, Shi Jin+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 4, 2017

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文提出了一种基于广义多项式混沌（gPC）的随机伽辽金（SG）方法，用于处理具有随机输入的高振荡输运方程，利用非线性几何光学（NGO）实现与频率无关的精度。通过引入一种基于相位的时间变量，消除了随机空间中的振荡，使得该方法在不解析网格尺寸、时间步长或多项式混沌阶数的情况下，能够捕捉点态解的统计特性。

ABSTRACT

We develop generalized polynomial chaos (gPC) based stochastic Galerkin (SG) methods for a class of highly oscillatory transport equations that arise in semiclassical modeling of non-adiabatic quantum dynamics. These models contain uncertainties, particularly in coefficients that correspond to the potentials of the molecular system. We first focus on a highly oscillatory scalar model with random uncertainty. Our method is built upon the nonlinear geometrical optics (NGO) based method, developed in \cite{NGO} for numerical approximations of deterministic equations, which can obtain accurate pointwise solution even without numerically resolving spatially and temporally the oscillations. With the random uncertainty, we show that such a method has oscillatory higher order derivatives in the random space, thus requires a frequency dependent discretization in the random space. We modify this method by introducing a new "time" variable based on the phase, which is shown to be non-oscillatory in the random space, based on which we develop a gPC-SG method that can capture oscillations with the frequency-independent time step, mesh size as well as the degree of polynomial chaos. A similar approach is then extended to a semiclassical surface hopping model system with a similar numerical conclusion. Various numerical examples attest that these methods indeed capture accurately the solution statistics {\em pointwisely} even though none of the numerical parameters resolve the high frequencies of the solution.

研究动机与目标

• 解决在半经典量子动力学中因随机势能输入而产生的高振荡输运方程中，高效计算不确定性传播的挑战。
• 克服标准gPC-SG方法在应用于振荡问题时的计算不可行性，此类问题需要解析小波长。
• 开发一种随机伽辽金方法，即使在网格尺寸、时间步长和多项式混沌阶数与振荡频率无关的情况下，仍能保持精度。
• 将非线性几何光学（NGO）框架扩展至随机设置，确保渐近保持性与点态解的精度。
• 在具有随机带隙的标量模型和表面跳跃模型上验证该方法，证明其在不确定性量化中的鲁棒性与高效性。

提出的方法

• 通过引入基于相位的时间变量，将非线性几何光学（NGO）框架适配至随机问题，从而消除随机空间中的振荡。
• 应用广义多项式混沌（gPC）近似表示随机输入，随后通过随机伽辽金（SG）投影在随机-物理空间中推导出一组确定性偏微分方程。
• 利用相位变量 τ 中的傅里叶分析，将解分解为振荡与非振荡分量，从而在傅里叶域中通过后向欧拉方法实现稳定的时间积分。
• 在随机变量空间中采用谱配置法计算gPC系数的导数，这些导数进入振荡部分的系统矩阵。
• 在傅里叶域中通过矩阵求逆构造振荡分量的时间隐式格式，确保无论 ε 取值如何均保持稳定性。
• 对于表面跳跃模型，推导出一种gPC-SG-D格式，通过涉及 ψm(z)ψl(z) 关于权函数 π(z) 的积分，实现对随机带隙的矩阵投影处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 非线性几何光学（NGO）方法能否被扩展至具有随机系数的随机高振荡输运方程？
• RQ2 引入基于相位的时间变量是否能消除随机空间中的频率相关振荡，从而实现频率无关的离散化？
• RQ3 能否构建一种gPC-SG方法，使其在不解析网格尺寸、时间步长或多项式混沌阶数的情况下，仍能捕捉点态解的统计特性？
• RQ4 与标量模型相比，该方法在具有随机带隙的半经典表面跳跃模型上的表现如何？
• RQ5 随机不确定性对随机空间中高阶导数正则性的影响是什么？如何加以缓解？

主要发现

• 标准gPC-SG方法在处理振荡问题时需要依赖波频的gPC阶数，导致在高频区域计算成本过高。
• 引入基于相位的时间变量后，随机空间依赖关系变为非振荡性，从而可采用与频率无关的网格尺寸、时间步长和多项式混沌阶数。
• 所提出的基于NGO的gPC-SG方法即使在无任何数值参数解析高频率振荡的情况下，仍能实现准确的点态解统计特性。
• 数值实验结果表明，该方法能正确捕捉具有随机带隙的标量模型和表面跳跃模型的解统计特性。
• 由于傅里叶域中振荡部分的矩阵求逆具有对称且实特征值结构，因此保持稳定且可逆，确保了数值鲁棒性。
• 该方法具有渐近保持性，并在一系列 ε 值范围内保持精度，证明其在高度振荡极限下的鲁棒性。