[论文解读] Nonlinear interaction of waves in elastodynamics and an inverse problem

Maarten V. de Hoop, Günther Uhlmann+1 more|arXiv (Cornell University)|May 10, 2018

Numerical methods in inverse problems被引用 8

一句话总结

本文利用非线性弹性理论的广义五常数模型，研究了弹性动力学中的非线性波相互作用。通过分析畸变平面波的非线性响应主符号，证明了位移-力矢量映射唯一确定了介质中每一点的弹性参数 A、B、λ 和 μ，从而解决了从边界测量中恢复非线性参数的逆问题。

ABSTRACT

We consider nonlinear elastic wave equations generalizing Gol'dberg's five constants model. We analyze the nonlinear interaction of two distorted plane waves and characterize the possible nonlinear responses. Using the boundary measurements of the nonlinear responses, we solve the inverse problem of determining elastic parameters from the displacement-to-traction map.

研究动机与目标

• 表征由广义五常数模型控制的非线性弹性介质中两个畸变平面波的非线性相互作用。
• 确定哪些波模式（P、SV、SH）可通过非线性相互作用生成，以及这些响应非零的条件。
• 从边界测量的非线性响应中恢复弹性参数 A、B、λ、μ 的逆问题。
• 证明位移-力矢量映射编码了足够信息，可用于重构非线性响应的主符号，从而实现完整参数识别。

提出的方法

• 研究采用基于应变张量的自由能立方展开推导出的具有光滑空间变化参数 λ、μ、A、B、C 的广义非线性弹性模型。
• 利用几何光学和微局部分析构造畸变平面波解，波前沿 P 波和 S 波度量中的测地线传播。
• 通过小参数 δ 的渐近展开分析非线性相互作用，识别出主导阶非线性响应为特定拉格朗日流形上的 conormal 分布。
• 通过能量展开导出的应变张量和类似应力的张量，显式计算非线性响应的主符号。
• 通过在足够大的时间 T₀ > 2·diam(Ω) 下从位移-力矢量映射中提取非线性响应的主符号，求解逆问题。
• 从 SV 模式响应中确定 λ + B 和 2μ + ½A，结合线性化数据（λ, μ），在每一点唯一重构参数 A 和 B。

实验结果

研究问题

• RQ1 在广义五常数模型下，哪些入射 P 波和 S 波组合会产生弹性动力学中可观察的非线性响应？
• RQ2 在何种条件下，非线性相互作用会在边界产生可检测的 P、SV 或 SH 波？
• RQ3 在三维各向同性介质中，位移-力矢量映射是否能唯一确定非线性弹性参数 A、B、λ、μ？
• RQ4 非线性响应的主符号如何编码关于某一点弹性参数的信息？
• RQ5 为确保非线性响应不被线性波到达污染，所需的最小测量时间是多少？

主要发现

• 若 λ + 2B + 3μ + A ≠ 0，则非线性相互作用 P + P → SH 和 P + SH → P 非零。
• 当 λ + 2μ + ½A + B ≠ 0 或 μ + ½A + B ≠ 0 时，P + SH → SH 相互作用通常非零。
• 若 λ + B ≠ 0 或 2μ + ½A ≠ 0，则 P + SV → SV 相互作用非零。
• 非线性响应中的 SV 模式响应提供了该关注点处 λ + B 和 2μ + ½A 的值。
• 通过将线性化数据（λ, μ）与非线性响应符号结合，可在域中每一点唯一确定参数 A 和 B。
• 利用位移-力矢量映射，解决了所有五个参数（λ, μ, A, B, C）的逆问题，其中 C 在所考虑的配置中不影响主导阶非线性响应。