[论文解读] Nonlinear Interpolation and Total Variation Diminishing Schemes

François Dubois|arXiv (Cornell University)|Jun 20, 2010

Computational Fluid Dynamics and Aerodynamics参考文献 34被引用 5

一句话总结

本文为标量守恒律中Van Leer格式提出了一种保持凸性的非线性插值框架，证明了在$\ell^\infty \cap {\rm BV}$空间中的适定性，并建立了保证总变差递减（TVD）性质的充分条件。该方法即使在非声速极值点处也表现出二阶精度，且在采用二阶Heun时间格式并满足适当的限制器约束条件下，TVD性质与二阶精度均得以保持。

ABSTRACT

The Van Leer approach for the approximation of nonlinear scalar conservation laws is studied in one space dimension. The problem can be reduced to a nonlinear interpolation and we propose a convexity property for the interpolated values. We prove that under general hypotheses the method of lines in well posed in $\ ell^{\infty} \cap { m BV} $ and we give precise sufficient conditions to establish that the total variation is diminishing. We observe that the second order accuracy can be maintained even at non sonic extrema. We establish also that both the TVD property and second order accuracy can be maintained after discretization in time with the second order accurate Heun scheme. Numerical illustration for the advection equation is presented.

研究动机与目标

• 为标量守恒律中的Van Leer格式建立非线性插值的严格数学框架。
• 在方法线（method of lines）框架下，识别确保总变差递减（TVD）性质的充分条件。
• 证明在非声速极值点处，二阶精度仍能保持，这是TVD格式中已知的挑战。
• 将TVD与二阶精度性质推广至时间离散化格式，特别是Heun格式。
• 通过对对流方程的数值实验验证理论结果。

提出的方法

• 将Van Leer格式表述为一种具有保持凸性特性的重构值非线性插值问题。
• 采用方法线处理方式，将空间离散化连续地处理时间，一般假设下确保在$\ell^\infty \cap {\rm BV}$空间中的适定性。
• 推导限制器函数的充分条件，以保证连续时间设置下解的TVD性质。
• 通过截断误差分析，证明即使在非声速极值点处，二阶精度仍能保持。
• 应用二阶Heun时间积分格式，并推导限制器的新约束条件，以同时保持TVD与二阶精度。
• 在对流方程上实现并测试了Lagrange限制器，采用不同网格与CFL数进行数值实验。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为Van Leer格式建立保持凸性的插值框架，以确保稳定性和精度？
• RQ2 在何种条件下，方法线在标量守恒律中于$\ell^\infty \cap {\rm BV}$空间中是适定的？
• RQ3 能否在一般假设下，为基于插值的该格式严格证明TVD性质？
• RQ4 在非声速极值点处，二阶精度是否能保持，而标准TVD格式常在此处退化？
• RQ5 在使用如Heun的两步Runge-Kutta格式进行时间离散化后，TVD与二阶精度是否仍能保持？

主要发现

• 在一般假设下，方法线在$\ell^\infty \cap {\rm BV}$空间中是适定的，确保了数值解的稳定性。
• 推导出保证连续时间格式下总变差递减（TVD）性质的充分条件。
• 在非声速极值点处，二阶精度得以保持，解决了某些TVD格式中的已知局限性。
• 当限制器函数满足新推导的约束条件时，Heun格式能同时保持TVD与二阶精度。
• 数值实验验证了Lagrange限制器在$L^\infty$范数下呈现二阶收敛，其他限制器在$L^1$与$L^2$范数下也表现出二阶收敛。
• 当CFL数减小至$\sigma = 1/4$时，Heun格式在极值点处保持二阶截断误差，而$\sigma = 1/2$时退化为一阶，凸显了时间步长限制的重要性。