[论文解读] NONLINEAR OBSERVER IN THE ORIGINAL COORDINATES WITH DIFFEOMORPHISM EXTENSION AND JACOBIAN COMPLETION

Pauline Bernard, Vincent Andrieu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 1, 2015

Adaptive Control of Nonlinear Systems参考文献 18被引用 4

一句话总结

本文提出了一种非线性观测器设计方法，通过微分同胚（diffeomorphisms）处理可观测性奇点和维数不匹配问题，使观测器直接在原始系统坐标系中运行。通过图像扩展（image extension）和雅可比矩阵补全（Jacobian completion），该方法在不改变收敛特性的情况下，将观测器动态嵌入原始坐标系中，从而实现在受限状态区域和高维观测器流形中的稳定估计。

ABSTRACT

Typical difficulties we face in implementing observers in applications are: – because of physical constraints or observability singularities, the estimated state should remain in some restricted region of the system state manifold ; – observability may also impose the observer dynamics to live in an observer state manifold with higher dimension than the system state. In such a case, the observer implementation needs a left inverse of an injective immersion. In the approach we propose to round these difficulties, we do not modify the given converging dynamics of the observer, assumed to be globally defined. Instead we select carefully the coordinates to express them. This is done via appropriate diffeomorphisms: – one diffeomorphism sending the restricted region to the whole space. This is done by an image extension. – one function extending the injective immersion into a diffeomorphism and making the observer state coordinates equivalent to the system state coordinates complemented with extra ones introduced to fill the dimension gap. This is done via a Jacobian completion. Such a design makes possible the expression of the observer dynamics in the, maybe complemented, original coordinates. Several examples illustrate our results.

研究动机与目标

• 解决由于物理约束导致估计状态必须局限于状态流形特定区域时的观测器实现问题。
• 克服阻碍标准观测器设计全局适用性的可观测性奇点问题。
• 解决观测器状态流形维数高于系统状态流形维数的维数不匹配问题。
• 在不修改的情况下保持观测器原始的收敛动态，确保稳定性和收敛性保证。
• 通过微分同胚变换动力学，实现在原始系统坐标系中的观测器实现，避免坐标变换带来的解释复杂性。

提出的方法

• 应用微分同胚将受限状态区域的像扩展至整个状态空间，通过图像扩展实现全局观测器设计。
• 采用雅可比矩阵补全技术，将一个单射浸入（injective immersion）扩展为完整的微分同胚，从而解决观测器状态流形中的维数缺口问题。
• 通过完成后的微分同胚构造单射浸入的左逆，确保观测器状态表示的一致性。
• 利用微分同胚变换将观测器动态表达在原始系统坐标系中，保持原始系统的几何结构。
• 通过在变换坐标表示的同时保持原始动态，确保观测器的全局存在性和收敛性。
• 利用微分同胚将观测器状态映射到保留原始坐标的流形上，通过补全方法填充额外维度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当估计状态被约束在状态流形的受限区域时，如何设计观测器以保持其稳定性和收敛性？
• RQ2 何种数学变换可使观测器在存在可观测性奇点的情况下，仍能在原始系统坐标系中运行？
• RQ3 如何将具有维数缺口的单射浸入扩展为微分同胚，以实现完整的观测器状态表示？
• RQ4 雅可比矩阵补全技术在何种方式下确保了观测器动态的左逆存在性？
• RQ5 在将动态表达于原始坐标系的同时，能否保持观测器原有的收敛特性？

主要发现

• 所提方法通过使用微分同胚将受限区域映射至整个空间，实现了在原始系统坐标系中的观测器设计，克服了物理约束和可观测性限制。
• 通过微分同胚实现的图像扩展确保了即使状态被限制在有界区域，观测器仍可全局定义。
• 雅可比矩阵补全将单射浸入转化为微分同胚，解决了系统与观测器状态流形之间的维数不匹配问题。
• 观测器动态成功地在原始坐标系中表达，且未改变其收敛行为，从而保持了稳定性保证。
• 该方法通过完成后的微分同胚实现了单射浸入的左逆构造，支持一致的状态估计。
• 多个说明性实例展示了该方法在处理实际观测器设计中复杂可观测性和几何约束方面的有效性。