[论文解读] Nonlinear optimization for matroid intersection and extensions

Yael Berstein, Jon Lee+2 more|ArXiv.org|Jul 24, 2008

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 8被引用 5

一句话总结

本文提出了针对拟阵交集及相关组合结构的非线性优化的高效算法，利用目标函数 f 的凸性、范数及射线凹性，同时假设可行集为良好描述的集合，且权重矩阵 W 固定或以一元编码表示。对于凸 f，建立了多项式时间确定性算法；对于范数和射线凹函数，实现了常数因子近似；对于两个拟阵的公共基上的一般 f，提出了随机化算法。

ABSTRACT

We address optimization of nonlinear functions of the form $f(Wx)$, where $f:\R^d o \R$ is a nonlinear function, $W$ is a $d imes n$ matrix, and feasible $x$ are in some large finite set $F$ of integer points in $\R^n$. One motivation is multi-objective discrete optimization, where $f$ trades off the linear functions given by the rows of $W$. Another motivation is to extend known results about polynomial-time linear optimization over discrete structures to nonlinear optimization. We assume that the convex hull of $F$ is well-described by linear inequalities. For example, the set of characteristic vectors of common bases of a pair of matroids on a common ground set. When $F$ is well described, $f$ is convex (or even quasiconvex), and $W$ has a fixed number of rows and is unary encoded or with entries in a fixed set, we give an efficient deterministic algorithm for maximization. When $F$ is well described, $f$ is a norm, and binary-encoded $W$ is nonnegative, we give an efficient deterministic constant-approximation algorithm for maximization. When $F$ is well described, $f$ is ``ray concave'' and non-decreasing, and $W$ has a fixed number of rows and is unary encoded or with entries in a fixed set, we give an efficient deterministic constant-approximation algorithm for minimization. When $F$ is the set of characteristic vectors of common bases of a pair of vectorial matroids on a common ground set, $f$ is arbitrary, and $W$ has a fixed number of rows and is unary encoded, we give an efficient randomized algorithm for optimization.

研究动机与目标

• 将组合结构（如拟阵、拟模体和分配）上多项式时间线性优化的结果扩展至非线性函数。
• 通过识别 f 的广泛类别、矩阵 W 和可行集 F，解决一般非线性优化的难解性问题，从而实现高效算法。
• 为在良好描述的 F 和固定或一元编码的 W 条件下最大化或最小化 f(Wx) 提供确定性和随机化算法，其中 f 为凸函数、范数或射线凹函数。
• 将先前关于非线性离散优化的研究结果（特别是针对置换矩阵和拟阵的公共基）推广至更广泛的函数和结构类别。
• 在可行集 F 的凸包存在分离 oracle 的条件下，建立算法可行性，即使一般非线性优化难以求解。

提出的方法

• 该方法依赖于可行集 F 的良好描述性质，即其凸包 conv(F) 允许高效的分离 oracle。
• 对于凸或拟凸 f 且固定 d 时，W 为一元编码或有界元素，通过迭代细化和 oracle 访问，确定性算法可实现最优最大化。
• 对于基于范数的 f 和非负二进制编码的 W，利用范数的几何与组合性质，构建了确定性常数近似算法。
• 对于固定 d 且 W 为一元/有界编码的射线凹且非减 f，利用射线凹函数的结构性质，开发了常数近似最小化算法。
• 对于两个向量拟阵的公共基上的一般 f，且固定 d 和一元编码的 W，随机化算法通过随机采样权重向量，以高概率估计最优 W 图像。
• 该随机化算法将原问题简化为 n+1 个子问题，子问题定义在 N 的子集 S⊆N 上，通过基于秩条件和随机采样的递归剪枝策略，保持高成功概率。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 f 为凸或拟凸函数，W 的行数固定且以一元或有界编码表示时，拟阵交集上的非线性优化能否高效求解？
• RQ2 当 f 为范数且 W 为非负二进制编码时，是否存在 f(Wx) 最大化的常数因子近似算法？
• RQ3 当 W 的 d 固定且为一元/有界编码时，能否对射线凹且非减的 f 实现常数因子近似最小化？
• RQ4 对于两个向量拟阵的公共基上的通用非线性优化问题，即使 f 为任意函数，能否通过随机化实现高效求解？
• RQ5 如何将非线性拟阵交集问题约化为少量子问题，以实现高效计算？

主要发现

• 对于凸或拟凸 f 且固定 d 时，W 为一元编码或有界元素，存在高效确定性算法，可在多项式时间内求解最大化问题。
• 当 f 为范数且 W 为非负二进制编码时，存在确定性常数近似算法，可在多项式时间内实现最大化。
• 对于固定 d 且 W 为一元/有界编码的射线凹且非减 f，提供了确定性常数近似算法用于最小化。
• 对于两个向量拟阵的公共基上的一般 f，且固定 d 和一元编码的 W，随机化算法可在多项式时间内以至少 1/2 的概率计算出最优解。
• 通过重复运行该随机化算法 n 次，可将成功概率放大至 1−1/2^n，且运行时间仅线性增加。
• 通过迭代剪枝基集元素将问题约化为子问题，结合权重向量的随机采样，可在高概率下保持最优性。