[论文解读] Nonlinear QM as a fractal Brownian motion with complex diffusion constant

Carlos Castro, Jorge Mahecha+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 5, 2002

Quantum Mechanics and Applications参考文献 5被引用 14

一句话总结

本文从具有复数扩散常数的分形布朗运动模型推导出一种新颖的非线性薛定谔方程（NLSE），得到实值能量与动量的平面波和孤子解。其关键贡献在于，该模型中的量子力学能量泛函与场论能量泛函完全一致，这使其有别于以往的非线性量子力学模型。

ABSTRACT

A new nonlinear Schroedinger equation is obtained explicitly from the fractal Brownian motion of a massive particle with a complex-valued diffusion constant. Real-valued energy (momentum) plane wave and soliton solutions are found in the free particle case. The hydro-dynamical model analog yields another (new) nonlinear QM wave equation with physically meaningful soliton solutions. One remarkable feature of this nonlinear Schroedinger equation based on a fractal Brownian motion model, over all the other nonlinear QM models, is that the quantum-mechanical energy functional coincides with the field theory one.

研究动机与目标

• 从具有复数扩散常数的分形布朗运动模型推导出一种新的非线性薛定谔方程。
• 解决现有非线性量子力学模型在能量泛函和齐次性方面存在的物理不一致性问题。
• 证明尽管哈密顿量非厄米，自由粒子情况下仍存在实值能量与动量的平面波和孤子解。
• 表明该模型中量子力学能量泛函与场论能量泛函完全一致，这是非线性量子力学方法中独一无二的特征。
• 探讨在尺度相对论与分形时空背景下，复数扩散引起的非线性性的物理意义。

提出的方法

• 将Nottale与Ord关于量子力学作为分形布朗运动的表述扩展至包含复数扩散常数 $ D = rac{ar{h}}{2m} $，其中 $ ar{h} = ar{h}_0 + ieta $，从而引入非线性性。
• 在分形时空背景下，基于复导数算符与随机动力学，从广义牛顿定律推导出基本的非线性薛定谔方程。
• 对基于分形的NLSE应用流体力学类比，得到第二个新的NLSE，其哈密顿量为厄米特型，且包含非线性势能项 $ abla ext{ln}(rac{ ho}{ ho^*}) abla ext{ln}(rac{ ho^*}{ ho}) $。
• 利用条件 $ 2mD = ar{h} $，其中 $ ar{h} $ 为复数，定义从分形到非分形区域的过渡，$ ar{h}_0 $ 对应该标准普朗克常数。
• 分析形如 $ ho o [F(x-Vt) + iG(x-Vt)]e^{ipx/ar{h} - iEt/ar{h}} $ 的平面波与孤子解，证明其满足正确的色散关系 $ E = p^2/(2m) $。
• 证明通过重新定义波函数 $ ho' = e^{iS/ar{h}} $ 可恢复标准线性薛定谔方程，从而证明非线性性源于复数 $ ar{h} $，而非波函数本身。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否从具有复数扩散常数的分形布朗运动模型推导出非线性薛定谔方程？其解是否具有物理意义？
• RQ2 该非线性量子力学模型中的能量泛函是否如所声称的那样，与场论能量泛函完全一致？
• RQ3 在非厄米哈密顿量系统中，实值能量与动量的平面波与孤子解如何产生？
• RQ4 扩散常数 $ eta $ 的虚部具有何种物理意义？其与量子力学中非线性的关系为何？
• RQ5 为何该模型中的非线性项不破坏温伯格齐次性条件，而其他NLSE则会？

主要发现

• 从具有复数扩散常数 $ 2mD = ar{h} = ar{h}_0 + ieta $ 的分形布朗运动中推导出基本的非线性薛定谔方程，导致非厄米哈密顿量。
• 尽管哈密顿量非厄米，自由粒子情况下仍存在实值能量与动量的平面波与孤子解，满足 $ E = p^2/(2m) $。
• 该模型中量子力学能量泛函与场论能量泛函完全一致，这是其他非线性量子力学模型所不具备的独特特征。
• 对基于分形的NLSE进行流体力学类比，得到一个新的NLSE，其哈密顿量为厄米特型，且包含非线性势能项 $ rac{aar{h}^2}{8m^2} abla ext{ln}(rac{ ho}{ ho^*}) abla ext{ln}(rac{ ho^*}{ ho}) $。
• 非线性性并非波函数定义的副产品；通过重新定义 $ ho' = e^{iS/ar{h}} $ 可恢复标准线性薛定谔方程，证明非线性性源于复数 $ ar{h} $。
• 扩散常数的虚部 $ eta $ 被解释为量子力学中非线性的物理标志，目前尚未在实验中观测到。