[论文解读] Nonlinear SDEs driven by Lévy processes and related PDEs

Benjamin Jourdain, Sylvie Méléard+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2007

Stochastic processes and financial applications参考文献 22被引用 68

一句话总结

本文研究由 Lévy 过程驱动的非线性随机微分方程（SDE），通过允许系数关于解的分布呈非线性且满足 Lipschitz 连续性，推广了经典的 McKean-Vlasov 模型。在较弱条件下建立了存在性与唯一性，通过随机变分法证明了时间有限维分布的绝对连续性，并推导出以分数阶拉普拉斯算子为特征的非线性 Fokker-Planck 方程作为核心结果，建立了粒子系统与非局部 PDE 之间的联系。

ABSTRACT

In this paper we study general nonlinear stochastic differential equations, where the usual Brownian motion is replaced by a Lévy process. We also suppose that the coefficient multiplying the increments of this process is merely Lipschitz continuous and not necessarily linear in the time-marginals of the solution as is the case in the classical McKean-Vlasov model. We first study existence, uniqueness and particle approximations for these stochastic differential equations. When the driving process is a pure jump Lévy process with a smooth but unbounded Lévy measure, we develop a stochastic calculus of variations to prove that the time-marginals of the solutions are absolutely continuous with respect to the Lebesgue measure. In the case of a symmetric stable driving process, we deduce the existence of a function solution to a nonlinear integro-differential equation involving the fractional Laplacian.

研究动机与目标

• 通过用一般 Lévy 过程替代布朗运动并允许系数关于解的分布呈非线性，推广 McKean-Vlasov 模型。
• 在弱于经典模型的 Lipschitz 条件下，建立由 Lévy 过程驱动的非线性 SDE 的解的存在性与唯一性。
• 当驱动过程为具有光滑且无界 Lévy 测度的纯跳 Lévy 过程时，证明解的时间有限维分布关于 Lebesgue 测度绝对连续。
• 当驱动过程为对称 α 稳定 Lévy 过程时，推导出包含分数阶拉普拉斯算子的非线性积分微分方程作为解密度的 Fokker-Planck 方程。
• 为非线性 SDE 构造一个概率粒子系统近似，并在一般 Lipschitz 条件下建立混沌传播速率与空间维数相关的收敛性。

提出的方法

• 将非线性 SDE 形式化为 $ X_t = X_0 + \int_0^t \sigma(X_{s^-}, P_s) dZ_s $，其中 $ Z_t $ 为 Lévy 过程，$ P_s $ 为 $ X_s $ 的分布。
• 在 Wasserstein 空间中使用不动点论证，证明在 $ \sigma $ 关于概率测度上的 Vaserstein 距离满足 Lipschitz 连续性时的解的存在性与唯一性。
• 引入 Vaserstein 距离的有界版本 $ d_1 $，以放松对初始数据和 Lévy 过程的平方可积性假设。
• 为具有无界跳跃的一般 Lévy 过程驱动的 SDE 开发随机变分法，推广 Bichteler-Jacod 与 Bismut 的方法。
• 应用变分法证明：在 $ \sigma $ 和 Lévy 测度满足光滑性与有界性条件时，时间有限维分布 $ P_t $ 具有 Lebesgue 密度。
• 对于对称 α 稳定 Lévy 过程，推导出非线性 Fokker-Planck 方程 $ \partial_t p_t(x) = D_x^\alpha(|\sigma(\cdot, p_t)|^\alpha p_t)(x) $，其中 $ D_x^\alpha $ 为分数阶拉普拉斯算子。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系数仅关于分布满足 Lipschitz 连续性而非线性时，由 Lévy 过程驱动的非线性 SDE 在何种条件下存在唯一解？
• RQ2 对于具有无界 Lévy 测度的纯跳 Lévy 过程，此类解的时间有限维分布是否可被证明关于 Lebesgue 测度绝对连续？
• RQ3 当驱动 Lévy 过程为对称 α 稳定时，其对应的非线性 Fokker-Planck 方程是什么？
• RQ4 在一般 Lipschitz 条件下，粒子近似中混沌传播速率如何依赖于空间维数？
• RQ5 能否构造一个物理上合理的概率粒子系统，以近似具有非线性漂移项的分数阶多孔介质方程？

主要发现

• 在 $ \sigma $ 关于欧氏距离与 $ \mathcal{P}_2(\mathbb{R}^k) $ 上 Vaserstein 距离的乘积满足 Lipschitz 连续性时，非线性 SDE (1) 在 $ \sigma $ 不关于测度变量线性的情况下仍存在唯一解。
• 对于具有光滑且无界 Lévy 测度的纯跳 Lévy 过程，当 $ \sigma $ 满足 Lipschitz 条件且其第一变量的导数有界时，时间有限维分布 $ P_t $ 关于 Lebesgue 测度绝对连续。
• 当驱动过程为对称 α 稳定时，解密度 $ p_t $ 满足非线性 Fokker-Planck 方程 $ \partial_t p_t(x) = D_x^\alpha(|\sigma(\cdot, p_t)|^\alpha p_t)(x) $，其中 $ D_x^\alpha $ 为分数阶拉普拉斯算子。
• 粒子系统中混沌传播的收敛速率并非普遍为 $ C/\sqrt{n} $；其依赖于空间维数 $ k $，与经典 McKean-Vlasov 模型不同。
• 本文通过构造一个含卷积项的非线性漂移项的非线性 SDE，为分数阶多孔介质方程提供了一种概率近似方案，从而得到一个具有分数阶拉普拉斯算子的物理上合理的模型。
• 通过对应 SDE 解的存在性及其有限维分布的绝对连续性，建立了非线性 Fokker-Planck 方程解的存在性。