[论文解读] Nonlinear splittings on fibre bundles

S. Hajdú, Tom Mestdag|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2021

Advanced Differential Geometry Research参考文献 42被引用 3

一句话总结

本文将纤维丛上的非线性分裂推广为Ehresmann联络的推广，其中水平提升不再要求线性。该文建立了此类分裂的曲率映射，并展示了其在具有仿射约束和磁力的拉格朗日系统中的作用，表明曲率为零时，二阶微分方程为子mersive（子丛映射），且在基流形上产生约化动力学。

ABSTRACT

We introduce the notion of a nonlinear splitting on a fibre bundle as a generalization of an Ehresmann connection. We present its basic properties and we pay attention to the special cases of affine, homogeneous and principal nonlinear splittings. We explain where nonlinear splittings appear in the context of Lagrangian systems and Finsler geometry and we show their relation to Routh symmetry reduction, submersive second-order differential equations and unreduction. We define a curvature map for a nonlinear splitting, and we indicate where this concept appears in the context of nonholonomic systems with affine constraints and Lagrangian systems of magnetic type.

研究动机与目标

• 通过放松水平提升的线性要求，将Ehresmann联络的概念推广为非线性分裂。
• 定义并研究非线性分裂的曲率，特别关注具有仿射非完整约束和磁力拉格朗日量的力学系统。
• 建立纤维正则拉格朗日量诱导非线性分裂的条件，并将其与对称性约化和子mersive二阶微分方程联系起来。
• 探讨芬斯勒几何中齐次非线性分裂的几何意义，及其与测地线重参数化及芬斯勒子丛映射的关系。

提出的方法

• 将非线性分裂定义为光滑、保持纤维且与Tπ相容的映射h: π*TN → TM，其像H = Im h构成TM的一个水平子流形。
• 利用隐函数定理从纤维正则拉格朗日量构造非线性分裂，通过Legendre变换确保水平分布定义良好。
• 为非线性分裂引入曲率映射R̄，其源于水平分布的非积分性，推广了Ehresmann联络的曲率。
• 将形式化方法应用于带有磁项和仿射约束的拉格朗日系统，表明曲率为零意味着子mersivity及基空间动力的解耦。
• 建立诱导非线性分裂为齐次的条件，特别针对如芬斯勒度量能量的2+-齐次拉格朗日量。
• 将结果与Routh和Lagrange-Poincaré约化联系起来，表明在适当的对称性和曲率条件下，总空间上的解可投影为约化基流形上的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Ehresmann联络的概念从线性水平提升推广至纤维丛上的非线性分裂？
• RQ2 在具有仿射约束或磁力的系统中，非线性分裂的曲率具有何种几何与动力学意义？
• RQ3 在何种条件下，纤维正则拉格朗日量在纤维丛上诱导出齐次或对应于主联络的非线性分裂？
• RQ4 非线性分裂如何与机械系统中Routh和Lagrange-Poincaré约化等对称性约化技术相关联？
• RQ5 在芬斯勒能量函数上，齐次非线性分裂以何种方式保持测地线参数化和子丛结构等几何性质？

主要发现

• 非线性分裂被定义为光滑、保持纤维且与Tπ相容的映射h: π*TN → TM，其像为TM的子流形而非分布。
• 定义了非线性分裂的曲率，并证明其当且仅当对应的二阶微分方程为子mersive（即基积分曲线可投影至基流形上的解）时为零。
• 对于带有磁项的拉格朗日系统，诱导的非线性分裂的曲率控制水平与垂直动力之间的耦合；曲率为零时系统实现解耦。
• 当拉格朗日量为2+-齐次（例如芬斯勒度量的能量）时，诱导的非线性分裂为齐次，且Liouville向量场切于水平子流形。
• 证明了基流形N上的约化拉格朗日量与测地线的参数化无关，表明其在重参数化下具有几何不变性。
• 在曲率为零的情况下，M/G上约化系统的基积分曲线满足拉格朗日量¯L = 1/2gijvivj − V + Aivi的Euler-Lagrange方程，与磁力学中的已知结果一致。