[论文解读] Nonlinear Stability and Instablity in Rayleight--Taylor Problem of Stratisfied Compressible MHD Fluids

Fei Jiang, Song Jiang|arXiv (Cornell University)|Feb 24, 2017

Navier-Stokes equation solutions参考文献 4被引用 3

一句话总结

本文在拉格朗日坐标系下建立了分层可压缩磁流体（MHD）瑞利-泰勒问题的非线性稳定性与不稳定性准则。证明了当 $Ψ < 1$ 时，足够强的垂直磁场可使流动稳定；而当 $Ψ > 1$ 时则发生不稳定性，表明可压缩性会削弱磁场的稳定作用，但压力可抵消此效应。研究进一步拓展至粘弹性流体，表明弹性提供的稳定作用强于磁场。

ABSTRACT

We establish criteria of stability and instability for the stratified compressible magnetic Rayleigh--Taylor (RT) problem. More precisely, if under the stability condition $Ξ&lt;1$, we show the existence of unique solution with algebraic decay in time for the (compressible) magnetic RT problem with proper initial data in Lagrangian coordinates. The stability result presents that sufficiently large vertical (base) magnetic field can inhibit the development of RT instability. On the other hand, if $Ξ&gt;1$, there exists an unstable solution to the magnetic RT problem in the Hadamard sense. This shows that the RT instability still occurs when the strength of base magnetic field is small or the base magnetic field is horizontal with proper large horizontal period cell. Moreover, by analyzing the stability condition in magnetic RT problem for vertical magnetic fields, we can observe that the compressibility destroys the stabilizing effect of magnetic fields in the vertical direction. Fortunately, the instability in vertical direction can be inhibited by the stabilizing effect of pressure, which also plays an important role in the mathematical proof for stability of the magnetic RT problem. In addition, we will extend the results in magnetic RT problem to the (compressible) viscoelastic RT problem, and find that the stabilizing effect of elasticity is stronger than the one of magnetic fields.

研究动机与目标

• 建立分层可压缩MHD瑞利-泰勒问题的严格非线性稳定与不稳定准则。
• 研究在重力作用下，可压缩性如何影响磁场的稳定作用。
• 确定不可压缩MHD流体中观察到的磁场抑制效应是否在可压缩区域依然成立。
• 比较分层可压缩流体中磁场与弹性的稳定作用。
• 将稳定性框架拓展至粘弹性RT问题，并评估其相对稳定强度。

提出的方法

• 在具有垂直重力场和基态磁场的拉格朗日坐标系中建立可压缩MHD方程。
• 基于密度、压力与磁场强度的能量估计和函数不等式，定义稳定性条件 $Ψ < 1$。
• 构造一个类李雅普诺夫能量泛函 $χ\mathcal{E}$，并通过耗散项 $χ\mathcal{D}$ 证明其衰减，从而得出解的代数时间衰减。
• 利用分部积分与Poincaré型不等式，控制能量泛函中磁场与弹性能量项。
• 通过构造导致速度分量随时间指数增长的初始数据，证明系统在哈达玛意义下的不稳定性。
• 通过分析弹性系数 $κ$ 并比较其与磁场的稳定作用，将结果拓展至粘弹性RT问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，垂直磁场可使可压缩MHD瑞利-泰勒不稳定性稳定？
• RQ2 可压缩性如何影响磁场在RT问题中对流动的稳定作用？
• RQ3 当磁场较弱或方向为水平时，不稳定性是否仍可能发生？其行为由何决定？
• RQ4 粘弹性流体中弹性的稳定作用与MHD流体中磁场的稳定作用相比如何？
• RQ5 压力在抵消可压缩性对磁场稳定作用的破坏性影响中起何作用？

主要发现

• 当稳定性条件 $\Xi < 1$ 成立时，存在唯一解且解随时间代数衰减，证明在足够强的垂直磁场作用下系统具有非线性稳定性。
• 当 $\Xi > 1$ 时，系统在哈达玛意义下表现出非线性不稳定性，解的速度分量随时间呈指数增长。
• 可压缩性削弱了垂直磁场的稳定作用，但此不稳定性影响可通过压力的稳定作用得到抵消。
• 当弹性系数 $\kappa$ 足够小时，不稳定性条件 $\Xi > 1$ 成立，证实弱弹性无法使系统稳定。
• 在粘弹性RT问题中，弹性提供的稳定作用强于磁场，这由 $\kappa$ 在稳定性准则中的主导作用所证实。
• 在 $\kappa_{-}, \kappa_{+} > 0$ 且密度与压力梯度满足适当有界条件时，稳定性条件 $\Xi < 1$ 被验证成立。