[论文解读] Nonlinear transformation of complex amplitudes via quantum singular value transformation

Naixu Guo, Kosuke Mitarai+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 22, 2021

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 12被引用 7

一句话总结

本文提出了一种基于量子奇异值变换（QSVT）的量子算法，用于对复数振幅进行非线性变换，实现了对量子态的概率性非线性操作。通过从态制备预言机构建振幅的块编码，该方法在精度上实现了指数级加速，并对输入维度表现出近似平方根的依赖关系，为在量子计算机上实现神经网络提供了可行路径。

ABSTRACT

Due to the linearity of quantum operations, it is not straightforward to implement nonlinear transformations on a quantum computer, making some practical tasks like a neural network hard to be achieved. In this work, we define a task called nonlinear transformation of complex amplitudes and provide an algorithm to achieve this task. Specifically, we construct a block-encoding of complex amplitudes from a state preparation unitary. This allows us to transform the complex amplitudes by using quantum singular value transformation. We evaluate the required overhead in terms of input dimension and precision, which reveals that the algorithm depends on the roughly square root of input dimension and achieves an exponential speedup on precision compared with previous work. We also discuss its possible applications to quantum machine learning, where complex amplitudes encoding classical or quantum data are processed by the proposed method. This paper provides a promising way to introduce highly complex nonlinearity of the quantum states, which is essentially missing in quantum mechanics.

研究动机与目标

• 为解决由于量子力学的线性性而难以在量子计算机上实现非线性操作的根本挑战。
• 定义并解决非线性复振幅变换（NTCA）任务，即直接对量子态振幅的实部和虚部分别应用非线性函数。
• 开发一种块编码技术，将振幅的实部或虚部分别编码为厄米矩阵，以用于QSVT。
• 展示所提出方法如何通过在量子态振幅上应用非线性激活函数，直接实现量子神经网络的构建。
• 量化资源开销与输入维度和精度的关系，表明该方法在实际量子机器学习应用中具有有利的缩放特性。

提出的方法

• 该方法通过从态制备预言机构建一个酉算符，将复振幅的实部或虚部分别编码为厄米矩阵，从而实现振幅的块编码。
• 利用量子奇异值变换（QSVT）对编码矩阵的奇异值应用非线性函数P和Q，这些奇异值对应于振幅的实部和虚部。
• 该算法使用态制备预言机及其伴随算符的受控版本，其调用次数在期望下呈 $\mathcal{O}\left(d\sqrt{N/\sum_{k=1}^{N}|P'(x_k)+Q'(y_k)|^2}\right)$ 的尺度，其中d为多项式逼近的阶数。
• 对于非线性函数的多项式逼近，该方法通过利用泰勒级数展开并有界伯努利数，确保误差界限，实现 $\mathcal{O}(\log(1/\varepsilon))$ 阶数以达到 $\varepsilon$-精度。
• 通过递归地将NTCA过程应用于隐藏层态，该方法可推广至多层量子神经网络，使用统一的奇异值放大来归一化系数。
• 在最后阶段应用振幅估计算法，以加法误差 $\beta$ 提取输出振幅，对于 $\ell$-层网络，总资源成本为 $\tilde{\mathcal{O}}\left(d^{\ell}N_{\ell}\sqrt{N_1N_2\cdots N_{\ell}}/\beta\right)$。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管量子操作具有线性性，是否能够直接对量子态的复振幅应用非线性变换？
• RQ2 如何从态制备预言机构建振幅分量（实部和虚部）的块编码，以实现基于QSVT的非线性处理？
• RQ3 在输入维度N和期望精度 $\varepsilon$ 的条件下，实现NTCA的资源成本是多少？
• RQ4 所提出的方法是否可用于在量子态上实现具有非线性激活函数的量子神经网络？
• RQ5 使用该方法实现多层量子神经网络所需的资源缩放特性如何？

主要发现

• 与先前方法相比，该算法在精度上实现了指数级加速，多项式逼近的阶数在 $\varepsilon$-精度下仅需 $\mathcal{O}(\log(1/\varepsilon))$。
• 受控态制备预言机调用次数的尺度为 $\mathcal{O}\left(d\sqrt{N/\sum_{k=1}^{N}|P'(x_k)+Q'(y_k)|^2}\right)$，表明对输入维度N的依赖关系近似为平方根。
• 对于两层量子神经网络，该方法需要 $\tilde{\mathcal{O}}\left(d^2\sqrt{N_1}\right)$ 次输入态制备预言机 $U_\psi$ 的调用，更高层的资源成本呈乘法增长。
• 通过用低阶多项式逼近非线性激活函数（如tanh），该方法可直接在量子态振幅上实现非线性激活。
• 对于 $\ell$-层量子神经网络，总资源成本为 $\tilde{\mathcal{O}}\left(d^{\ell}\sqrt{N_1N_2\cdots N_{\ell-1}}\right)$ 次预言机调用，振幅估计引入了 $\tilde{\mathcal{O}}(N_\ell^{3/2}/\beta)$ 的因子用于输出态读出。
• 该方法通过在本质上为线性的量子态上引入可控的非线性变换，为量子机器学习提供了一个有前景的框架。