[论文解读] Nonlinear waves in a strongly nonlinear resonant granular chain

Lifeng Liu, Guillaume James+2 more|arXiv (Cornell University)|Jun 9, 2015

Nonlinear Photonic Systems参考文献 30被引用 4

一句话总结

本文研究由赫兹接触颗粒与内部谐振子组成的强非线性共振颗粒链中的非线性波。通过渐近分析，推导出广义离散p-薛定谔（DpS）方程，以模拟小振幅周期行波和暗孤子——在非零背景上指数局域化的时变周期态——并证明在质量比较大时存在寿命较长的亮孤子，且数值计算出的稳定暗孤子具有依赖于质量比和频率的特定分岔与稳定性特性。

ABSTRACT

We explore a recently proposed locally resonant granular system bearing harmonic internal resonators in a chain of beads interacting via Hertzian elastic contacts. In this system, we propose the existence of two types of configurations: (a) small-amplitude periodic traveling waves and (b) dark-breather solutions, i.e., exponentially localized, time periodic states mounted on top of a non-vanishing background. We also identify conditions under which the system admits long-lived bright breather solutions. Our results are obtained by means of an asymptotic reduction to a suitably modified version of the so-called discrete p-Schr{ö}dinger (DpS) equation, which is established as controllably approximating the solutions of the original system for large but finite times (under suitable assumptions on the solution amplitude and the resonator mass). The findings are also corroborated by detailed numerical computations. A remarkable feature distinguishing our results from other settings where dark breathers are observed is the complete absence of precompression in the system, i.e., the absence of a linear spectral band.

研究动机与目标

• 研究具有赫兹接触和内部谐振子的局域共振颗粒链中非线性波解的存在性与稳定性。
• 将离散p-薛定谔（DpS）方程框架扩展至有限质量比，超越标准非共振极限。
• 通过数值方法计算并分析暗孤子解——在非零背景上指数局域化、时变周期的态——无需预压。
• 研究在不同质量比和频率下，键中心型与格点中心型暗孤子解的分岔与稳定性特性。
• 探讨系统中长寿命亮孤子解出现的条件。

提出的方法

• 通过渐近约化推导广义DpS调制方程，适用于大但有限时间与小振幅，基于解振幅与谐振子质量的假设。
• 利用广义DpS方程近似并预测小振幅周期行波与孤子解的动力学行为。
• 基于DpS方程的解构造数值模拟的初始条件，以计算精确的暗孤子解。
• 应用牛顿型定点延拓法，对不同频率与质量比下的精确暗孤子解进行数值计算。
• 通过Floquet特征值谱分析稳定性，区分键中心型与格点中心型解中的实特征值（传播性）与振荡不稳定性。
• 将数值结果与DpS框架的解析预测进行比较，以验证渐近近似的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义DpS方程能否准确捕捉有限质量比下共振颗粒链中微小振幅周期行波解？
• RQ2 在何种条件下系统中可存在寿命较长的非平凡亮孤子解？
• RQ3 在无预压的单质颗粒链中，是否存在暗孤子解——即在非零背景上指数局域化、时变周期的态？
• RQ4 暗孤子的稳定性与分岔结构如何依赖于质量比与孤子频率？
• RQ5 Peierls-Nabarro势垒在暗孤子可移动性中起什么作用？其与键中心型与格点中心型解的动力不稳定性有何关联？

主要发现

• 广义DpS方程在有限质量比下成功近似了共振颗粒链中小振幅周期行波解，尤其在质量比低于临界阈值时表现良好。
• 在有限质量比下，非平凡亮孤子解并不存在；然而，当质量比较大且初始条件适切时，可出现寿命较长的非平凡亮孤子。
• 通过基于DpS的初始条件与牛顿型延拓法，数值计算出键中心型与格点中心型暗孤子解。
• 键中心型暗孤子表现出实特征值不稳定性，暗示其可能长期传播；而格点中心型孤子仅显示振荡不稳定性，因此在模拟中具有更长的持续时间。
• 在小质量比下，键中心型解中观察到周期倍化分岔；而格点中心型解在长时间内保持稳定，但在特定条件下可能通过混沌动力学完全破坏。
• Floquet特征值分布——指示稳定性——显著依赖于质量比与孤子频率，格点中心型解在谐振子自然频率附近表现出更弱的不稳定性。