[论文解读] Nonlinear waves in Newton's cradle and the discrete p-Schroedinger equation

Guillaume James|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2010

Nonlinear Photonic Systems参考文献 54被引用 10

一句话总结

本文推导出一种新型离散 $p$-薛定谔（DpS）方程，用于模拟牛顿摆中由赫兹接触力引起的完全非线性、单向相互作用下的小振幅非线性波。DpS方程能够捕捉周期性行波、驻波呼吸子以及调制不稳定性，对行波的存在性给出了严格证明，并通过强有力的数值证据表明其在颗粒链中的更广泛动力学相关性。

ABSTRACT

We study nonlinear waves in Newton's cradle, a classical mechanical system consisting of a chain of beads attached to linear pendula and interacting nonlinearly via Hertz's contact forces. We formally derive a spatially discrete modulation equation, for small amplitude nonlinear waves consisting of slow modulations of time-periodic linear oscillations. The fully-nonlinear and unilateral interactions between beads yield a nonstandard modulation equation that we call the discrete p-Schroedinger (DpS) equation. It consists of a spatial discretization of a generalized Schroedinger equation with p-Laplacian, with fractional p>2 depending on the exponent of Hertz's contact force. We show that the DpS equation admits explicit periodic travelling wave solutions, and numerically find a plethora of standing wave solutions given by the orbits of a discrete map, in particular spatially localized breather solutions. Using a modified Lyapunov-Schmidt technique, we prove the existence of exact periodic travelling waves in the chain of beads, close to the small amplitude modulated waves given by the DpS equation. Using numerical simulations, we show that the DpS equation captures several other important features of the dynamics in the weakly nonlinear regime, namely modulational instabilities, the existence of static and travelling breathers, and repulsive or attractive interactions of these localized structures.

研究动机与目标

• 为了建模牛顿摆中的弱非线性、小振幅波，该系统为具有赫兹接触力的哈密顿格点系统。
• 为了推导一个能捕捉珠子相互作用完全非线性和单向性质的调制方程。
• 为了利用改进的李雅普诺夫-施瓦茨特方法，证明原始系统中周期性行波的存在性。
• 为了展示所推导的DpS方程能够准确模拟关键动力学特征，如呼吸子和调制不稳定性。
• 为了探索DpS方程在颗粒介质中离散呼吸子和波相互作用方面的更广泛应用。

提出的方法

• 使用多尺度渐近法，从牛顿摆系统形式上推导出空间离散的调制方程。
• 将所得方程识别为离散 $p$-薛定谔（DpS）方程，其中 $p > 2$，且 $p$ 依赖于赫兹指数 $\alpha = 3/2$。
• 使用改进的李雅普诺夫-施瓦茨特约化方法，证明原始链中精确周期性行波的存在性，其解接近DpS解。
• 通过离散映射的轨道数值计算DpS方程的驻波解，包括空间局域化的呼吸子。
• 对原始牛顿摆系统进行模拟，并与DpS方程的动力学进行比较，以验证其预测能力。
• 利用谱方法和统计方法分析两种模型中呼吸子的调制不稳定性及相互作用特性（吸引/排斥）。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否推导出一个调制方程，以捕捉牛顿摆中完全非线性、单向的赫兹相互作用？
• RQ2 所推导的DpS方程是否具有显式的周期性行波和局域化呼吸子解？
• RQ3 DpS方程的近似解在多大程度上接近原始牛顿摆系统的精确解？
• RQ4 DpS方程在多大程度上再现了原始系统中观察到的调制不稳定性及呼吸子相互作用？
• RQ5 DpS方程能否作为具有赫兹接触的颗粒链中弱非线性动力学的可靠有效模型？

主要发现

• DpS方程被推导为具有赫兹接触力的牛顿摆中小振幅、缓慢调制的周期波的调制方程。
• DpS方程具有离散 $p$-拉普拉斯算子，且 $p > 2$，反映了赫兹定律中的非线性指数 $\alpha = 3/2$。
• DpS方程中存在显式的周期性行波解，且通过改进的李雅普诺夫-施瓦茨特方法，其在原始系统中的存在性已严格证明。
• 数值模拟揭示了DpS方程中丰富的驻波解，包括空间局域化的呼吸子。
• DpS方程捕捉到了原始系统中观察到的调制不稳定性，表明其在波包动力学中的相关性。
• DpS方程再现了呼吸子的关键相互作用行为——包括吸引和排斥——展示了其在弱非线性区域的预测能力。