[论文解读] Nonlinearity, correlation and the valuation of employee stock options

Matheus R. Grasselli|ArXiv.org|Nov 9, 2005

Stochastic processes and financial applications参考文献 13被引用 14

一句话总结

本文提出一种基于指数风险中性定价的离散时间算法，用于在不完全市场中对员工股票期权进行估值，同时考虑非线性风险偏好（导致部分行权）以及通过相关交易资产进行对冲。主要贡献在于，非线性和相关性显著提高了期权价值和公司成本，超出Black-Scholes模型的水平，且公司成本介于员工价值与Black-Scholes价格之间。

ABSTRACT

We propose a discrete time algorithm for the valuation of employee stock options based on exponential indifference prices and taking into account both the possibility of partial exercise of a fraction of the options and the use of a correlated traded asset to hedge part of their risk. We determine the optimal exercise policy under this conditions and present numerical results showing how both effects can significantly change the value of the option for an employee, as well as its cost for the issuing firm.

研究动机与目标

• 解决标准期权定价模型（如Black-Scholes）在估值员工股票期权时的局限性，原因在于合同特征如归属期、失效条款和非流动性。
• 将员工期权建模为不完全市场中的衍生品，其中风险无法完全对冲，因此需采用基于效用的定价方法，而非风险中性定价。
• 研究非线性风险偏好与相关交易资产对最优行权策略及期权估值的影响。
• 量化部分行权与对冲对员工效用和公司成本的影响，纠正现有模型中系统性低估的问题。

提出的方法

• 采用基于指数效用的无差异定价方法，确定员工期权的公允价值，以反映风险规避特征。
• 开发一种离散时间动态规划算法，以计算最优行权策略，允许根据持股数量和风险偏好进行部分行权。
• 引入一个相关交易资产（如股票指数）以对冲部分市场风险，将对冲策略建模为动态投资组合。
• 利用蒙特卡洛模拟风险中性股票动态，结合员工最优行权策略作为输入，计算公司的预期成本。
• 采用二叉树框架，在归属期结束时将期权估值为欧式衍生品，实现从授予日开始的反向归纳。
• 通过独立的泊松过程引入员工离职风险，通过每个时间步的生存概率调整期权价值。

实验结果

研究问题

• RQ1 当风险偏好为非线性且允许部分行权时，员工股票期权的最优行权策略如何变化？
• RQ2 相关交易资产的存在在多大程度上影响员工股票期权的价值及公司的成本？
• RQ3 在不同波动率和到期期限下，估值结果与Black-Scholes价格及员工自身基于效用的价值相比如何？
• RQ4 基于指数无差异定价的离散时间算法能否准确捕捉不完全市场中非线性和相关性的影响？

主要发现

• 发行公司的实际成本介于员工基于效用的估值与Black-Scholes价格之间，表明标准模型系统性低估了公司成本。
• 公司成本随到期时间、波动率和与对冲资产的相关性增加而上升，随员工风险规避程度（γ）增加而下降。
• 当T=5且γ=0.5时，公司成本随波动率上升，与理论预期和实证证据一致。
• 忽略部分行权与非线性特征，将系统性低估员工的期权价值，从而导致公司成本被低估。
• 引入相关对冲资产显著提升了期权价值，表明对冲机会可降低未对冲风险并提高期权价值。
• 该模型结果在定性上与实证发现一致（如Huddart和Lang，1996），表明员工期权定价低于Black-Scholes，尤其在长期限和高波动率下更为明显。