[论文解读] Nonlinearly Exponential Stability of Compressible Navier-Stokes System with Degenerate Heat-Conductivity

Bin Huang, Xiaoding Shi|arXiv (Cornell University)|Sep 3, 2018

Navier-Stokes equation solutions被引用 3

一句话总结

本文建立了在一维可压缩纳维-斯托克斯系统中，当热导率退化时强解的非线性指数稳定性，其中热导率与温度的正幂次成正比，而粘度为常数。通过推导一致的先验估计并利用能量方法，作者证明了比容和温度在时间上一致地远离零和无穷大，且解在时间趋于无穷时指数收敛到平衡态，将Kazhikhov的结果推广到了具有任意大初始数据的退化非线性情形。

ABSTRACT

We study the large-time behavior of strong solutions to the one-dimensional, compressible Navier-Stokes system for a viscous and heat conducting ideal polytropic gas, when the viscosity is constant and the heat conductivity is proportional to a positive power of the temperature. Both the specific volume and the temperature are proved to be bounded from below and above independently of time. Moreover, it is shown that the global solution is nonlinearly exponentially stable as time tends to infinity. Note that the conditions imposed on the initial data are the same as those of the constant heat conductivity case ([Kazhikhov-Shelukhin. J. Appl. Math. Mech. 41 (1977); Kazhikhov. Boundary Value Problems for Hydrodynamical Equations, 50 (1981)] and can be arbitrarily large. Therefore, our result can be regarded as a natural generalization of the Kazhikhov's ones for the constant heat conductivity case to the degenerate and nonlinear one.

研究动机与目标

• 研究一维可压缩纳维-斯托克斯系统在热导率退化情况下的长时间行为。
• 将Kazhikhov在常数热导率情况下的非线性指数稳定性结果，扩展到热导率非线性依赖于温度的物理上合理的情形。
• 在对初始数据的最小假设下，建立强解的全局存在性和稳定性，包括任意大小的初始扰动。
• 证明比容和温度在时间上一致有界，确保解始终保持在非退化区域。

提出的方法

• 在拉格朗日坐标下表述可压缩纳维-斯托克斯系统，其中粘度为常数，热导率与温度的正幂次成正比。
• 应用能量估计和Sobolev嵌入，推导出解在所有时间上的$ H^1 $-范数的一致有界性。
• 利用最大值原理和逐点估计，控制比容和温度的下界与上界。
• 通过在时间区间上积分并利用$ L^2 $-型能量恒等式，建立速度和温度梯度的衰减估计。
• 利用空间导数的$ H^1 $-范数的衰减，证明解指数收敛到平衡态。
• 利用速度的$ L^2 $-范数随时间趋于无穷而趋于零的事实，证明非线性指数稳定性。

实验结果

研究问题

• RQ1 可压缩纳维-斯托克斯系统的非线性指数稳定性是否可以推广到热导率与温度正幂次成正比的退化热导率情形？
• RQ2 当热导率退化时，即使初始数据大小任意，全局强解是否仍能在时间上保持一致有界？
• RQ3 尽管热导率退化，解是否仍能始终保持在比容和温度的正区间内，对所有时间成立？
• RQ4 在这些条件下，解是否以指数速率收敛到平衡态？
• RQ5 与先前工作相比，是否可以放宽对初始数据的假设，特别是在热导率退化情形下？

主要发现

• 比容$ v $和温度$ \theta $在时间上一致地有下界和上界，且界仅依赖于初始数据和物理参数。
• 全局强解对所有时间存在，并满足当$ t \to \infty $时$ v, \theta \to \text{常数} $，且对所有$ (x,t) \in (0,1) \times (0,\infty) $有$ C^{-1} \leq v(x,t) \leq C $和$ C^{-1} \leq \theta(x,t) \leq C $。
• 解$ (v,u,\theta) $在$ H^1 $-范数下指数收敛到平衡态$ (1,0,1) $：存在$ \eta_0 > 0 $，使得$ \|(v-1,u,\theta-1)(\cdot,t)\|_{H^1} \leq C e^{-\eta_0 t} $。
• 速度$ u $的$ L^2 $-范数随$ t \to \infty $趋于零，这对证明指数稳定性至关重要。
• $ u_x $、$ \theta_x $、$ u_t $、$ \theta_t $、$ v_{xt} $、$ u_{xx} $和$ \theta_{xx} $的$ L^2 $-范数在时间上均一致有界。
• 解梯度的$ H^1 $-范数的衰减意味着解以指数速率趋近于平衡态，从而确认了非线性指数稳定性。