[论文解读] Nonlocal diffusion models with consistent local and fractional limits

Qiang Du, Xiaochuan Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2022

Fractional Differential Equations Solutions被引用 4

一句话总结

本文提出了一套具有有限作用范围 $\delta$ 的非局部扩散模型的统一框架，证明了当 $\delta \to 0$ 时模型一致收敛于经典局部PDE，当 $\delta \to \infty$ 时收敛于分数阶PDE。该研究建立了含非齐次数据问题的适定性，并证明了在狄利克雷和诺伊曼型非局部边界条件下，数值收敛率为 $O(\delta^{-2s})$。

ABSTRACT

For some spatially nonlocal diffusion models with a finite range of nonlocal interactions measured by a positive parameter $δ$, we review their formulation defined on a bounded domain subject to various conditions that correspond to some inhomogeneous data. We consider their consistency to similar inhomogeneous boundary value problems of classical partial differential equation (PDE) models as the nonlocal interaction kernel gets localized in the local $δ o 0$ limit, and at the same time, for rescaled fractional type kernels, to corresponding inhomogeneous nonlocal boundary value problems of fractional equations in the global $δ o \infty$ limit. Such discussions help to delineate issues related to nonlocal problems defined on a bounded domain with inhomogeneous data.

研究动机与目标

• 建立一个统一的理论框架，将具有有限相互作用范围 $\delta$ 的非局部扩散模型与经典局部PDE和分数阶PDE联系起来。
• 通过在局部和分数阶极限中引入非齐次数据，解决现有模型中的一致性缺失问题。
• 提供一个统一的公式化方法，连接有界区域内的经典PDE、具有有限 $\delta$ 的非局部模型以及分数阶PDE。
• 分析在不同边界条件下，非局部解向其局部与分数阶对应解的收敛行为。
• 通过数值方法验证理论结果，展示在不同 $\delta$ 和 $s$ 下的收敛率与稳定性。

提出的方法

• 在有界区域 $\Omega$ 上定义具有有限作用范围 $\delta$ 的核函数的非局部扩散算子 $\mathcal{L}_\delta$，并引入相互作用层 $\Omega_{\mathcal{I}_\delta}$。
• 通过体积约束或扩展算子 $\mathcal{N}_{\delta,\widehat{\Omega}_\delta}$ 定义非局部边界条件，以处理相互作用层上的非齐次数据。
• 在适当的函数空间中建立非局部问题的适定性，确保其与局部和分数阶极限的一致性。
• 推导局部极限（$\delta \to 0$）为具有狄利克雷或诺伊曼边界条件的经典PDE，以及分数阶极限（$\delta \to \infty$）为具有非局部算子 $\mathcal{L}_\infty^s$ 的分数阶PDE。
• 采用数值格式求解不同 $\delta$ 和分数阶参数 $s$ 下的非局部问题，将解与局部和分数阶极限进行比较。
• 通过 $L^2$-范数误差 $\|u_\delta - u_\infty\|_{L^2(\Omega)}$ 分析收敛率，观察到 $O(\delta^{-2s})$ 的衰减。

实验结果

研究问题

• RQ1 当存在非齐次数据时，具有有限作用范围 $\delta$ 的非局部扩散模型在 $\delta \to 0$ 时如何收敛于经典局部PDE？
• RQ2 当 $\delta \to \infty$ 时，具有有限 $\delta$ 的非局部模型的极限行为是什么？其与分数阶PDE有何关系？
• RQ3 具有非齐次数据的非局部边界条件如何影响非局部模型向局部与分数阶极限的一致性与收敛性？
• RQ4 非局部解向其局部与分数阶对应解的收敛率是多少？其如何依赖于 $\delta$ 和分数阶参数 $s$？
• RQ5 具有非齐次狄利克雷或诺伊曼型条件的非局部问题的数值解能否准确逼近局部与分数阶PDE的解？

主要发现

• 即使存在非齐次数据，具有有限 $\delta$ 的非局部模型在 $\delta \to 0$ 时仍收敛于经典局部PDE，确保了局部极限下的一致性。
• 当 $\delta \to \infty$ 时，非局部模型收敛于具有算子 $\mathcal{L}_\infty^s$ 的分数阶PDE，证明了分数阶极限下的一致性。
• 数值结果证实，在狄利克雷和诺伊曼型非局部边界条件下，$u_\delta$ 均收敛于 $u_\infty$，且收敛率随 $s$ 减小而恶化。
• 观察到的收敛率为 $O(\delta^{-2s}}$，表3中 $L^2$-误差衰减可验证此结果，对应 $s = 0.25, 0.5, 0.75$。
• 当 $s = 0.75$ 时，$L^2$-误差从 $\delta = 10$ 时的 $1.07 \times 10^{-2}$ 降至 $\delta = 160$ 时的 $1.78 \times 10^{-4}$，收敛率为1.48，与 $O(\delta^{-2s})$ 一致。
• 对于较小的 $s$，收敛率更慢，可能是因为在分数阶区域中核函数的衰减更慢。