[论文解读] Nonlocal Fully Nonlinear Parabolic Differential Equations Arising in Time-Inconsistent Problems

Lei Qian, Chi Seng Pun|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2021

Stability and Controllability of Differential Equations被引用 4

一句话总结

本文通过定制化的巴拿赫空间与不动点论证，建立了时间不一致随机控制问题中出现的非局部完全非线性抛物型PDE的适定性——存在性、唯一性与稳定性。此外，本文将这些PDE与一个二阶前向-后向随机微分方程（2FBSDE）的流联系起来，为这类系统提供了新的费曼-卡茨型表示。

ABSTRACT

We prove the well-posedness results, i.e. existence, uniqueness, and stability, of the solutions to a class of nonlocal fully nonlinear parabolic partial differential equations (PDEs), where there is an external time parameter $t$ on top of the temporal and spatial variables $(s,y)$ and thus the problem could be considered as a flow of equations. The nonlocality comes from the dependence on the unknown function and its first- and second-order derivatives evaluated at not only the local point $(t,s,y)$ but also at the diagonal line of the time domain $(s,s,y)$. Such equations arise from time-inconsistent problems in game theory or behavioural economics, where the observations and preferences are (reference-)time-dependent. To address the open problem of the well-posedness of the corresponding nonlocal PDEs (or the time-inconsistent problems), we first study the linearized version of the nonlocal PDEs with an innovative construction of appropriate norms and Banach spaces and contraction mappings over which. With fixed-point arguments, we obtain the well-posedness of nonlocal linear PDEs and establish a Schauder-type prior estimate for the solutions. Then, by the linearization method, we analogously establish the well-posedness under the fully nonlinear case. Moreover, we reveal that the solution of a nonlocal fully nonlinear parabolic PDE is an adapted solution to a flow of second-order forward-backward stochastic differential equations.

研究动机与目标

• 解决时间不一致随机控制中出现的非局部完全非线性抛物型PDE适定性这一开放问题。
• 通过新型函数空间与不动点技术，建立解的存在性、唯一性与稳定性。
• 将非局部PDE与二阶前向-后向随机微分方程（2FBSDE）的流联系起来。
• 通过引入对角依赖结构与时间参数化动态，推广现有的费曼-卡茨公式。
• 为参考依赖偏好下的行为经济学与随机控制理论提供更坚实的理论基础。

提出的方法

• 构建专门的巴拿赫空间及其范数，以处理PDE中的非局部性与时间参数依赖性。
• 在这些空间中应用压缩映射原理，证明线性化PDE版本的适定性。
• 推导出类似于Schauder的先验估计，以控制解对非齐次项与初始数据的依赖性。
• 通过线性化与不动点迭代，将结果推广至完全非线性情形。
• 通过将伊藤公式应用于PDE解，建立随机表示，将其与2FBSDE的流联系起来。
• 证明非局部PDE的解是所推导的2FBSDE流的适应解，从而推广经典费曼-卡茨公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般条件下，能否建立具有对角依赖性的非局部完全非线性抛物型PDE的适定性？
• RQ2 如何构造合适的函数空间与范数，以处理非局部结构与时间参数依赖性？
• RQ3 此类非局部PDE与二阶前向-后向随机微分方程（2FBSDE）的流之间存在何种联系？
• RQ4 能否为包含解及其导数的对角项的系统推导出广义的费曼-卡茨公式？
• RQ5 非局部PDE的解与时间不一致随机控制问题中的子博弈完美均衡之间有何关系？

主要发现

• 通过在适当构造的巴拿赫空间中使用线性化与巴拿赫不动点定理，确立了非局部完全非线性抛物型PDE的适定性。
• 推导出Schauder型先验估计，量化了解对初始条件与非齐次项的依赖性。
• 证明了非局部PDE的解是二阶前向-后向随机微分方程（2FBSDE）流的适应解。
• 系统(53)中的2FBSDE通过非线性方式引入了解及其导数的对角项，推广了经典2FBSDE。
• PDE-FBSDE的联系为2FBSDE的流提供了新的费曼-卡茨型表示，扩展了经典结果。
• 本研究显著推进了时间不一致随机控制的理论，实现了扩散系数中控制项的纳入，并解决了均衡HJB方程。