[论文解读] Nonlocality in microscale heat conduction

Bjorn Vermeersch, Ali Shakouri|arXiv (Cornell University)|Dec 19, 2014

Thermal properties of materials被引用 6

一句话总结

本文提出了一种非局部热导率核 κ∗，用于捕捉准弹道热传导在弹道-扩散谱范围内的时空记忆效应。在弛豫时间近似下，基于玻尔兹曼输运方程，该研究对调制 Lévy 输运情形下 κ∗ 进行了解析推导，揭示了在距离 √(2−α) xR 范围内非局域性具有物理意义，其中实验测得的非局域长度在 Si 中约为 400 nm，在 InGaAs/SiGe 中约为 1 μm，与声子平均自由程的中位数一致。

ABSTRACT

Thermal transport at short length and time scales inherently constitutes a nonlocal relation between heat flux and temperature gradient, but this is rarely addressed explicitly. Here, we present a formalism that enables detailed characterisation of the delocalisation effects in nondiffusive heat flow regimes. A convolution kernel $κ^{\ast}$, which we term the nonlocal thermal conductivity, fully embodies the spatiotemporal memory of the heat flux with respect to the temperature gradient. Under the relaxation time approximation, the Boltzmann transport equation formally obeys the postulated constitutive law and yields a generic expression for $κ^{\ast}$ in terms of the microscopic phonon properties. Subsequent synergy with stochastic frameworks captures the essential transport physics in compact models with easy to understand parameters. A fully analytical solution for $κ^{\ast}(x')$ in tempered Lévy transport with fractal dimension $α$ and diffusive recovery length $x_{ ext{R}}$ reveals that nonlocality is physically important over distances $\sqrt{2-α} \,\,x_{ ext{R}}$. This is not only relevant to quasiballistic heat conduction in semiconductor alloys but also applies to similar dynamics observed in other disciplines including hydrology and chemistry. We also discuss how the previously introduced effective thermal conductivity $κ_{ ext{eff}}$ inferred phenomenologically by transient thermal grating and time domain thermoreflectance measurements relates to $κ^{\ast}$. Whereas effective conductivities depend on the experimental conditions, the nonlocal thermal conductivity forms an intrinsic material property. Experimental results indicate nonlocality lengths of 400$\,$nm in Si membranes and $\simeq 1\,μ$m in InGaAs and SiGe, in good agreement with typical median phonon mean free paths.

研究动机与目标

• 开发一种用于微尺度热传导的非局域形式化方法，以捕捉准弹道区域中的时空记忆效应，且无需假设扩散行为。
• 通过在弛豫时间近似下求解玻尔兹曼输运方程，确立 κ∗ 作为源自材料本征性质的内在属性。
• 通过将 κ∗ 与有效热导率 κeff 关联，实现与瞬态热光栅（TTG）和时域热反射率（TDTR）实验数据的直接比较。
• 为非局域热传导提供一种紧凑且可解析处理的模型，其适用范围不仅限于热电材料，还可扩展至水文学和化学等领域。
• 通过推导二者之间的定量关系，解决由经验推断的 κeff 与基本非局域响应之间的差异。

提出的方法

• 建立一种非局域本构律，其中热流 q(x,t) 依赖于温度梯度 ∂T/∂x 与记忆核 κ∗(x−x′,t−t′) 的卷积。
• 在弛豫时间近似下，从玻尔兹曼输运方程出发，对 κ∗ 进行解析推导，将其与微观声子特性关联。
• 应用随机框架，将非局域核简化为具有可解释参数的紧凑模型。
• 在具有分形维数 α 和恢复长度 xR 的调制 Lévy 输运情形下，对 κ∗(x′) 进行解析求解。
• 通过频域中的积分方程，将 TDTR 和 TTG 实验中经验推断的有效热导率 κeff 与本征核 κ∗ 关联。
• 当 κ∗ 复杂时，使用带高斯求积的二分法数值求解所得积分方程以获得 κeff。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何通过时空记忆核的形式化描述微尺度传导中热流的非局域性？
• RQ2 对于具有分形维数 α 的调制 Lévy 输运，非局域热导率核 κ∗ 的解析形式是什么？
• RQ3 在 TDTR 和 TTG 实验中，实验测得的有效热导率 κeff 与本征非局域核 κ∗ 之间有何关系？
• RQ4 在亚微米尺度下，非局域效应在半导体合金中对扩散行为的主导程度如何？
• RQ5 该非局域形式化方法是否可被用于解释实验数据，而无需依赖于扩散输运的表观假设？

主要发现

• 非局域热导率核 κ∗ 全面捕捉了热流相对于温度梯度的时空记忆效应，构成材料的本征属性。
• 对于调制 Lévy 输运，非局域性在距离 √(2−α) xR 范围内具有物理意义，其中 xR 为扩散恢复长度。
• 在 Si 膜中实验测得的非局域长度约为 400 nm，在 InGaAs 和 SiGe 中约为 1 μm，与声子平均自由程的中位数高度一致。
• 从 TDTR 和 TTG 实验中推断的有效热导率 κeff 源于频率域中对 κ∗(ξ) 的广泛采样，其中高空间频率成分被抑制。
• 对于纯 Lévy 输运，关联 κ∗ 与 κeff 的积分方程可导出 κeff ∼ fmod^(−(2/α−1))，与 InGaAs 和 SiGe 中的实验标度一致。
• 该形式化方法可实现 κ∗ 的解析求解与 κeff 的数值求解，为非扩散输运区域提供了稳健的紧凑热建模框架。