[论文解读] Nonnegative Polynomials and Circuit Polynomials

Jie Wang|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2018

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一句话总结

本文证明了仅含一个负项的非负多项式恒为非负电路（SONC）多项式，从而确立了SONC锥与SAGE锥完全一致。此外，本文进一步表明每个SONC多项式均可实现无抵消分解，保持稀疏性，并可通过二阶锥规划或相对熵规划实现高效的稀疏多项式优化。

ABSTRACT

The concept of sums of nonnegative circuit polynomials (SONC) was recently introduced as a new certificate of nonnegativity especially for sparse polynomials. In this paper, we explore the relationship between nonnegative polynomials and SONC polynomials. As a first result, we provide sufficient conditions for nonnegative polynomials with general Newton polytopes to be SONC polynomials, which generalizes the previous result on nonnegative polynomials with simplex Newton polytopes. Secondly, we prove that every SONC polynomial admits a SONC decomposition without cancellation. In other words, SONC decompositions can exactly preserve the sparsity of nonnegative polynomials, which is dramatically different from the classical sum of squares (SOS) decompositions and is a key property to design efficient algorithms for sparse polynomial optimization based on SONC decompositions.

研究动机与目标

• 确定非负多项式在具有任意牛顿多面体时，其可表示为SONC分解的充分条件。
• 研究SONC分解是否可在无抵消的情况下保持非负多项式的稀疏性。
• 阐明SONC锥与SAGE锥在非负性证书背景下的关系。
• 通过利用保持稀疏性的SONC分解，实现可扩展的稀疏多项式优化。
• 将先前针对单形牛顿多面体的结果推广至一般多面体及多个负项的情形。

提出的方法

• 通过在支撑集上施加组合与几何条件，将先前针对单形牛顿多面体的结果推广至任意牛顿多面体。
• 证明仅含一个负项的非负多项式恒为SONC多项式，从而表明SONC锥与SAGE锥完全一致。
• 为每个SONC多项式建立无抵消SONC分解，确保分解过程中保持稀疏性。
• 利用SONC多项式在支撑集扩张后可表示为二项式平方之和的性质，实现二阶锥规划的公式化。
• 应用卡拉西奥多里定理，以原多项式中项数为界，限制SONC分解中所需的电路数量。
• 借助相对熵规划与二阶锥规划，高效求解无约束稀疏多项式优化问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有任意牛顿多面体的非负多项式可保证存在SONC分解？
• RQ2 是否每个SONC多项式均可实现无抵消分解，从而保持原始多项式的稀疏性？
• RQ3 SONC锥是否对所有非负多项式均等于SAGE锥？
• RQ4 如何高效计算无约束优化中稀疏多项式的SONC分解？
• RQ5 SONC分解的保持稀疏性特性在多大程度上可推广至约束多项式优化问题？

主要发现

• 每个恰好含一个负项的非负多项式均为SONC多项式，这意味着SONC锥与SAGE锥完全一致。
• 每个SONC多项式均可实现无抵消SONC分解，即分解结果精确反映原始多项式的稀疏结构。
• 多项式的SONC分解可仅通过其支撑集中包含的电路构造，无需枚举所有可能的电路。
• 由于卡拉西奥多里定理，SONC分解中所需的电路数量受原多项式项数的限制。
• SONC分解的保持稀疏性特性使得可通过二阶锥规划或相对熵规划高效求解稀疏多项式优化问题。
• 本结果将先前针对单形牛顿多面体的工作推广至一般牛顿多面体，为基于SONC的优化提供了更广泛的理论基础。