[论文解读] Nonnegative rank depends on the field II

Yaroslav Shitov|arXiv (Cornell University)|May 23, 2016

graph theory and CDMA systems参考文献 13被引用 3

一句话总结

该论文通过构造一个21×21的非负整数矩阵，解决了非负矩阵分解领域长期存在的问题：该矩阵在实数域上具有非负秩19的分解，但在有理数域上则不存在。证明利用了含无理参数（如√2、1+√0.5）的结构化矩阵块，强制任何最小有理数分解中必须出现无理数，从而证明非负秩依赖于基域，与科恩和罗思布拉姆1993年的猜想一致。

ABSTRACT

We provide an example of a $21 imes 21$ matrix with nonnegative integer entries which can be written as a sum of $19$ nonnegative rank-one matrices but not as a sum of $19$ rational nonnegative rank-one matrices. This gives a solution for a problem posed by Cohen and Rothblum in 1993.

研究动机与目标

• 解决科恩与罗思布拉姆（1993年）提出的问题，即对于有理数矩阵，其在ℚ与ℝ上的非负秩是否可能不同。
• 构造一个有理数矩阵的明确实例，其在ℝ上的非负秩与在ℚ上的非负秩不同。
• 证明即使所有矩阵元素均为有理整数，最小非负秩分解也可能需要无理数项。
• 提供一个决定性的反例，证明非负秩在域扩张下并非不变，特别是从ℚ到ℝ时。
• 阐明无理数在非负矩阵分解中的作用，对计算复杂度与多面体扩展形式化具有启示意义。

提出的方法

• 构造一个21×21的矩阵𝒜，由结构化子矩阵组成：𝒞(α,α,α,α,√2)、𝒷(2−α,2−α)、𝒷(2−α)和𝒷(2−√2)，其中α = 1+√0.5。
• 利用子矩阵的已知秩界：引理5表明4×4块V的非负秩为4；引理7给出了𝒞中秩为3的确切条件。
• 通过使用无理参数将𝒜分解为19个秩一矩阵之和，证明𝒜在ℝ上的非负秩≤19。
• 假设存在一个由19个有理数秩一矩阵构成的有理数分解，并通过将元素按颜色划分为红色、蓝色、黄色、 magenta（品红色）和未着色部分，导出矛盾。
• 利用引理4证明：若𝒷块中的参数不相等，则其非负秩至少为5，这强制任何有理数分解中必须出现无理数。
• 应用引理2证明：任何有理数分解中未着色部分U的非负秩至多为3，但与红色子矩阵中所需项的无理性相结合时，导致矛盾。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否存在一个有理数矩阵A，使得Rank₊(A,ℚ) ≠ Rank₊(A)？
• RQ2 对于有理数矩阵，其在ℝ上的非负秩是否可能严格小于在ℚ上的非负秩？
• RQ3 有理数矩阵的最小非负秩分解是否必然为有理数？
• RQ4 哪些结构性质会强制最小非负秩分解中出现无理数？
• RQ5 域扩张如何影响有理数矩阵的非负秩？

主要发现

• 21×21的矩阵𝒜在ℝ上的非负秩为19，通过使用无理参数α = 1+√0.5和d = √2构造分解得以证明。
• 同一矩阵𝒜在ℚ上的非负秩至少为20，通过假设存在19个有理数秩一矩阵的有理数分解并导出矛盾得以证明。
• 矩阵块中使用的无理参数（如√2、1+√0.5）在实现ℝ上秩19时至关重要，若在有理数分解中缺失，则导致结构矛盾。
• 在分解中，红色子矩阵在位置(5,4)和(5,5)的元素必须相等，这仅在使用无理参数时才可能实现，从而违反有理性。
• 任何有理数分解中未着色部分的非负秩至多为3，但该结论与红色子矩阵中所需结构矛盾。
• 结果证实非负秩在域扩张下并非不变，为科恩与罗思布拉姆1993年提出的问题提供了否定答案。