[论文解读] Nonnegative Ricci curvature, small linear diameter growth and finite generation of fundamental groups

Christina Sormani|ArXiv.org|Sep 23, 1998

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文证明了，若一个完备非紧致的黎曼流形具有非负的 Ricci 曲率且线性直径增长较小，则其基本群是有限生成的。利用 Abresch 和 Gromoll 的余量定理，作者证明了此类流形的基本群要么是有限生成的，要么在基本群无限生成时，其无穷远处的切锥是非极的，线性体积增长蕴含有限生成作为推论。

ABSTRACT

In 1968, Milnor conjectured that a complete noncompact manifold with nonnegative Ricci curvature has a finitely generated fundamental group. The author applies the Excess Theorem of Abresch and Gromoll (1990), to prove two theorems. The first states that if such a manifold has small linear diameter growth then its fundamental group is finitely generated. The second states that if such a manifold has an infinitely generated fundamental group then it has a tangent cone at infinity which is not polar. A corollary of either theorem is the fact that if such a manifold has linear volume growth, then its fundamental group is finitely generated.

研究动机与目标

• 解决 Milnor 于 1968 年提出的关于完备非紧致流形在非负 Ricci 曲率下基本群有限生成的猜想。
• 研究小线性直径增长对这类流形拓扑性质的几何影响。
• 建立无穷远处切锥结构与基本群有限生成性之间的联系。
• 证明在非负 Ricci 曲率下，线性体积增长蕴含基本群的有限生成。

提出的方法

• 应用 Abresch 和 Gromoll 的余量定理，以控制测地线和直径增长的几何性质。
• 通过无穷远处的切锥分析流形的渐近结构。
• 使用度量几何技巧，将直径增长与基本群的代数结构联系起来。
• 研究无穷远处切锥的极性与非极性，以推断基本群的拓扑约束。
• 比较体积增长与直径增长速率，推导出拓扑有限性条件。
• 将问题约化为在非负 Ricci 曲率下射线和渐近锥的行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 一个完备非紧致的黎曼流形若具有非负 Ricci 曲率且线性直径增长较小，其基本群是否是有限生成的？
• RQ2 在无穷远处的何种几何条件下会迫使基本群是无限生成的？
• RQ3 无穷远处切锥的结构能否检测出基本群是有限生成还是无限生成？
• RQ4 在非负 Ricci 曲率下，线性体积增长是否蕴含基本群的有限生成？
• RQ5 在何种条件下无穷远处的切锥是极的，这与流形的拓扑有何关联？

主要发现

• 若一个完备非紧致流形具有非负 Ricci 曲率且线性直径增长较小，则其基本群是有限生成的。
• 若基本群是无限生成的，则其无穷远处的切锥是非极的。
• 对于此类流形，线性体积增长蕴含基本群的有限生成。
• Abresch 和 Gromoll 的余量定理在将几何增长条件与拓扑有限性联系起来方面起着关键作用。
• 存在一个非极切锥作为无穷远处是无限基本群生成的必要条件。
• 这些结果在附加几何约束下，对 Milnor 猜想提供了部分证实。