[论文解读] Nonnegative Tensor Factorization, Completely Positive Tensors and an Hierarchical Elimination Algorithm

Liqun Qi, Changqing Xu+1 more|arXiv (Cornell University)|May 23, 2013

Tensor decomposition and applications参考文献 9被引用 6

一句话总结

本文将完全正定（CP）张量作为完全正定矩阵的高阶推广，建立了其谱性质、支配条件，并揭示了与copositive张量的对偶关系。提出了一种分层消去算法，用于验证强对称、分层支配的非负张量是否为CP张量，为非负张量分解应用提供了可检验的充分条件。

ABSTRACT

Nonnegative tensor factorization has applications in statistics, computer vision, exploratory multiway data analysis and blind source separation. A symmetric nonnegative tensor, which has a symmetric nonnegative factorization, is called a completely positive (CP) tensor. The H-eigenvalues of a CP tensor are always nonnegative. When the order is even, the Z-eigenvalue of a CP tensor are all nonnegative. When the order is odd, a Z-eigenvector associated with a positive (negative) Z-eigenvalue of a CP tensor is always nonnegative (nonpositive). The entries of a CP tensor obey some dominance properties. The CP tensor cone and the copositive tensor cone of the same order are dual to each other. We introduce strongly symmetric tensors and show that a symmetric tensor has a symmetric binary decomposition if and only if it is strongly symmetric. Then we show that a strongly symmetric, hierarchically dominated nonnegative tensor is a CP tensor, and present a hierarchical elimination algorithm for checking this. Numerical examples are also given.

研究动机与目标

• 通过定义和分析完全正定（CP）张量，将完全正定矩阵的理论推广至高阶张量。
• 研究CP张量的谱性质，特别是其H-特征值和Z-特征值，并建立符号与非负性约束。
• 识别CP张量元素必须满足的必要支配性质，形成可检验的条件。
• 建立同阶CP张量锥与copositive张量锥之间的对偶关系。
• 引入强对称张量及一种分层消去算法，用于验证非负张量为CP张量的充分条件。

提出的方法

• 将CP张量定义为一个实m阶n维张量，其可表示为非负秩一分解的和：A = Σ (u^(k))^m，其中u^(k) ∈ ℝ₊ⁿ。
• 引入张量的H-特征值与Z-特征值，并证明CP张量的H-特征值恒为非负。
• 证明对于偶数阶CP张量，所有Z-特征值均为非负；对于奇数阶，与正（负）Z-特征值相关的Z-特征向量为非负（非正）。
• 建立支配性质：CP张量的元素必须满足基于指标集与数值的特定不等式，构成必要条件。
• 将强对称张量定义为可进行对称二元分解的张量，并通过新表征方法证明其等价性。
• 提出一种分层消去算法，用于检验张量是否为强对称且分层支配，并证明此类张量必为CP张量。

实验结果

研究问题

• RQ1 CP张量具有何种谱性质，特别是其H-特征值与Z-特征值的符号特征？
• RQ2 CP张量的元素需满足何种支配条件，且这些条件能否作为必要检验？
• RQ3 CP张量锥与同阶copositive张量锥之间是否存在对偶关系？
• RQ4 能否形式化一个非负张量为CP张量的充分条件，并通过算法验证？
• RQ5 分层消去算法是否能正确识别出强对称、分层支配的非负张量为CP张量？

主要发现

• 任何CP张量的H-特征值恒为非负，与张量阶数无关。
• 对于偶数阶CP张量，所有Z-特征值均为非负；对于奇数阶，与正（负）Z-特征值相关的Z-特征向量为非负（非正）。
• CP张量的元素服从特定支配性质，这些性质构成张量为CP的必要条件。
• 同阶CP张量锥与copositive张量锥互为对偶。
• 强对称且分层支配的非负张量必为CP张量。
• 分层消去算法可验证强对称性与分层支配性，从而确认张量的CP性质。