[论文解读] Nonparametric Bayesian analysis for support boundary recovery

Markus Reiß, Johannes Schmidt-Hieber|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Photoacoustic and Ultrasonic Imaging被引用 1

一句话总结

本文提出了一种非参数贝叶斯方法，用于从强度为 λ_f(x,y) = n𝟏(f(x) ≤ y) 的泊松点过程恢复边界函数 f。通过使用熵和单侧小概率界限，建立了在 L¹ 范数下的后验收缩率，并推导了高斯过程和随机小波级数先验的具体结果，为在不规则模型条件下提供边界恢复的理论保证。

ABSTRACT

Given a sample of a Poisson point process with intensity $\lambda_f(x,y) = n \mathbf{1}(f(x) \leq y),$ we study recovery of the boundary function $f$ from a nonparametric Bayes perspective. Because of the irregularity of this model, the analysis is non-standard. We establish a general result for the posterior contraction rate with respect to the $L^1$-norm based on entropy and one-sided small probability bounds. From this, specific posterior contraction results are derived for Gaussian process priors and priors based on random wavelet series.

研究动机与目标

• 为解决从强度为 λ_f(x,y) = n𝟏(f(x) ≤ y) 的泊松点过程恢复结构不规则的边界函数 f 的挑战。
• 在非标准模型条件下，建立 L¹ 范数下后验收缩率的一般框架。
• 推导两种关键非参数先验（高斯过程和随机小波级数）的具体收缩率。
• 为具有不规则似然结构的边界估计问题中的后验集中提供理论依据。

提出的方法

• 该方法依赖于一个一般性理论结果，将后验收缩率与不规则模型中的熵和单侧小概率界限联系起来。
• 将该结果应用于强度依赖于边界 f 的指示函数的泊松点过程模型。
• 通过控制 L¹ 范数下的熵和小球概率，分析高斯过程先验。
• 通过推导适用于小波表示的函数的熵和小球概率界限，研究随机小波级数先验。
• 由于似然函数具有不连续和不规则的特性，分析采用了非标准技术。
• 该框架使得在贝叶斯非参数设置下推导频率学派类型的收缩率成为可能。

实验结果

研究问题

• RQ1 当数据来自强度为 λ_f(x,y) = n𝟏(f(x) ≤ y) 的泊松点过程时，边界函数恢复的后验收缩率是什么？
• RQ2 熵和单侧小概率界限如何在不规则模型中促进后验集中？
• RQ3 在该边界恢复问题中，使用高斯过程先验时，具体的收缩率是多少？
• RQ4 随机小波级数先验在该非正规模型中的后验收缩表现如何？
• RQ5 能否开发一个通用的理论框架，用于分析不规则非参数模型中的后验收缩？

主要发现

• 本文基于熵和单侧小概率界限，建立了一般性的 L¹ 范数后验收缩率，适用于不规则模型。
• 对于高斯过程先验，该方法得出了具体的后验收缩率，证明了其在模型不规则性下恢复边界的有效性。
• 随机小波级数先验也实现了有利的后验收缩率，其界限通过小波特定的熵和小球概率分析得出。
• 该理论框架成功处理了泊松过程模型中固有的不连续似然结构，其强度以指示函数形式表示。
• 结果首次对这一特定边界恢复问题提供了非参数贝叶斯收缩率分析，填补了不规则模型理论中的空白。