[论文解读] Nonparametric estimation for fractional diffusion processes with random effects

Mohamed El Omari, Hamid El Maroufy+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 16, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 23被引用 3

一句话总结

本论文针对具有长程依赖性的分数阶 stochastic 微分方程（FSDEs）中的随机效应密度，提出了非参数核估计器与直方图估计器，基于 $N$ 个受试者在时间跨度 $T$ 内的观测数据。在 $H > 1/2$ 的条件下，作者建立了核估计器的 $L^2$-风险与直方图估计器的 $L^1$-风险，当 $N$ 和 $T$ 同时趋于无穷时，提供了首个针对具有随机效应的 FSDE 的非参数推断框架。

ABSTRACT

We propose a nonparametric estimation for a class of fractional stochastic differential equations (FSDE) with random effects. We precisely consider general linear fractional stochastic differential equations with drift depending on random effects and non-random diffusion. We build ordinary kernel estimators and histogram estimators and study their Lp-risk (p =1 or 2), when H>1/2. Asymptotic results are evaluated as both T = T(N) and N tend to infinity.

研究动机与目标

• 为解决具有长程依赖性的分数阶 stochastic 微分方程（FSDEs）中随机效应缺乏非参数推断方法的问题。
• 为独立同分布的随机效应 $\phi_i$ 的公共密度 $f$ 构建一致的密度估计器，这些随机效应通过 $N$ 条 FSDE 样本路径被观测到。
• 在联合渐近 $N,T \to \infty$ 下，分析核估计器与直方图估计器的渐近 $L^p$-风险（$p=1,2$）。
• 将现有针对具有随机效应的 SDE 的参数推断方法，扩展至由分数布朗运动驱动的非参数设定。
• 为具有未知漂移 $a(\cdot)$ 和已知 $b(\cdot), \sigma(\cdot)$ 的模型中的密度估计提供理论保证。

提出的方法

• 基于 $N$ 条 FSDE 样本路径中估计的随机效应 $\widetilde{\phi}_{i,T}$ 的经验分布，提出用于随机效应密度 $f$ 的普通核估计器。
• 在 $a(\cdot)$ 已知或未知的假设下，推导核估计器的 $L^2$-风险界，其中 $H \in (1/2,1)$。
• 在 $f$ 具有紧致支集的假设下，构建用于 $f$ 的直方图估计器，以简化技术分析并反映实际相关性。
• 在联合渐近 $N,T \to \infty$ 下，分析直方图估计器的 $L^1$-风险，其中 $T = T(N)$。
• 利用分数布朗运动的随机分析与集中不等式，控制在长程依赖存在时的估计误差。
• 通过在 $b(t), \sigma(t)$ 和 $a(\cdot)$ 的正则性条件下，对偏差与方差分量进行有界处理，建立两种估计器的一致性与收敛速率。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为 $H > 1/2$ 的 FSDE 中的随机效应构造出一致的非参数密度估计器？
• RQ2 当 $N$ 和 $T$ 同时增长时，随机效应密度 $f$ 的核估计器的 $L^2$-风险具有何种性质？
• RQ3 在相同的渐近框架下，对于具有紧致支集的密度，直方图估计器在 $L^1$-风险下的表现如何？
• RQ4 未知漂移 $a(\cdot)$ 的存在如何影响随机效应密度估计的风险？
• RQ5 该方法在 $H < 1/2$ 情况下的理论局限性是什么？

主要发现

• 在 $b(t), \sigma(t)$ 和 $a(\cdot)$ 的正则性条件下，当 $N$ 和 $T$ 同时趋于无穷时，核估计器的 $L^2$-风险收敛于零。
• 对于核估计器，收敛速率取决于密度 $f$ 的光滑性、赫斯特指数 $H$ 以及带宽 $h$ 的选择。
• 在密度 $f$ 具有紧致支集的假设下，直方图估计器的 $L^1$-风险可被控制，从而实现更简单的技术分析。
• 在联合渐近 $N,T \to \infty$ 下，即使漂移 $a(\cdot)$ 未知，所提出的估计器仍具有一致性。
• 当 $H < 1/2$ 时，由于估计随机效应 $\widetilde{\phi}_{i,T}$ 所需的关键矩条件不成立，该方法失效。
• 数值模拟验证了核估计器与直方图估计器在不同 $H$ 值及随机效应分布（正态与伽马分布）下，对真实密度的理论收敛性。